% 数を長方形に並べ $(\quad )$ でくくったものを \ommindex{行列}{ぎょうれつ}といい, 行列に含まれる1つ1つの数をその\ommindex{成分}{せいぶん}という。 行列の1つの横並びの数の組を\ommindex{行}{ぎょう}, 1つの縦並びの数の組を\ommindex{列}{れつ}という。 次のように, $m$ 個の行と $n$ 個の列で構成されている行列 % \begin{align*} A = \left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array}\right) \quad \cdots \cdots \maru{1} \end{align*} % を $m\times n$ \ommindex{型}{かた}行列という。 行の数と列の数が同じ行列を\ommindex{正方行列}{せいほうぎょうれつ}という。 とくに, $n\times n$ 型行列を $n$ 次正方行列という。 このとき, $n$ を $A$ の\ommindex{次数}{じすう}という。 $1\times n$ 型行列を\ommindex{行ベクトル}{ぎょうべくとる}といい, 行列 $A$ の, 上から $i$ 番目の行を第 $i$ 行ベクトルという。 また, $m\times 1$ 型行列を\ommindex{列ベクトル}{れつべくとる}といい, 行列 $A$ の, 左から $j$ 番目の列を第 $j$ 列ベクトルという。 % \begin{align*} \mbox{$A$ の第 $i$ 行ベクトル：} & \left(\begin{array}{cccc} a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \end{array}\right) \\ \mbox{$A$ の第 $j$ 列ベクトル：} & \left(\begin{array}{c} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{mj} \end{array}\right) \end{align*} % 第 $i$ 行ベクトルと第 $j$ 列ベクトルにともに含まれる成分 $a_{ij}$ を, $A$ の $(i,j)$ 成分という。 式 \maru{1} を $A=\left(a_{ij}\right)$ と表す場合もある。 成分がすべて $0$ である行列を\ommindex{零行列}{ぜろぎょうれつ}といい, $O$ と表す。 \par 正方行列の左上から右下にかけての対角線上にある成分 $a_{ii}$ を, $A=\left(a_{ij}\right)$ の \ommindex{対角成分}{たいかくせいぶん}という。 対角成分以外の成分がすべて $0$ である行列を \ommindex{対角行列}{たいかくぎょうれつ}といい, 対角成分が $1$ である対角行列を \ommindex{単位行列}{たんいぎょうれつ}という。 単位行列は $E$ または $I$ で表すことが多い。 次数 $n$ を明記したいときには $E_n$ または $I_n$ と表す。 次の行列はそれぞれ2次単位行列, 3次単位行列である。 % \begin{align*} E_2 = \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right), \quad E_3 = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \end{align*} % %

% 行列 $A=\left(a_{ij}\right)$ と実数 $k$ に対して, $A$ の\ommindex{実数倍}{じっすうばい}を % \begin{align*} k \left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cccc} ka_{11} & ka_{12} & \cdots & ka_{1n} \\ ka_{21} & ka_{22} & \cdots & ka_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ ka_{m1} & ka_{m2} & \cdots & ka_{mn} \end{array}\right) \end{align*} % と定める。 \par 2つの行列 $A=\left(a_{ij}\right)$, $B=\left(b_{ij}\right)$ がともに $m\times n$ 型行列であるとき, $A$, $B$ の\ommindex{和}{わ} $A+B$, \ommindex{差}{さ} $A-B$ を, % \begin{align*} & \left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array}\right) \pm \left(\begin{array}{cccc} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \end{array}\right) \\ &= \left(\begin{array}{cccc} a_{11}\pm b_{11} & a_{12}\pm b_{12} & \cdots & a_{1n}\pm b_{1n} \\ a_{21}\pm b_{21} & a_{22}\pm b_{22} & \cdots & a_{2n}\pm b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}\pm b_{m1} & a_{m2}\pm b_{m2} & \cdots & a_{mn}\pm b_{mn} \end{array}\right) \\ & \quad (\mbox{復号同順}) \end{align*} % と定める。 型の異なる2つの行列に対しては, 和, 差は定義できない。 \par 行列 $A=\left(a_{ij}\right)$ が $m\times k$ 型, $B=\left(b_{ij}\right)$ が $k\times n$ 型行列であるとき, $A$, $B$ の\ommindex{積}{せき} $AB$ は, 第 $(i,j)$ 成分 $(AB)_{ij}$ が % \begin{align*} (AB)_{ij} = a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots +a_{ik}b_{kj} \end{align*} % で定められる行列とする。 $A$ の列数と $B$ の行数が等しくないとき, 積 $AB$ は定義できない。 %

% $m\times n$ 行列 $A=\left(a_{ij}\right)$ に対して, 第 $(i,j)$ 成分が $a_{ji}$ であるような $n\times m$ 行列を, 行列 $A$ の\ommindex{転置行列}{てんちぎょうれつ}といい, ${}^t\!A$ と表す。 正方行列の転置行列は正方行列, 列ベクトルの転置行列は行ベクトルである。 % \begin{enumerate} \item[(1)] $A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array}\right)$ のとき　 ${}^t\!A = \left(\begin{array}{cc} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{array}\right)$ % \item[(2)] $B=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -2 \\ 2 & 3 \end{array}\right)$ のとき　 ${}^tB = \left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ -2 & 3 \end{array}\right) $ % \item[(3)] $\vt{x}=\left(\begin{array}{r} 1 \\ -2 \\ 3 \end{array}\right)$ のとき　 ${}^t\vt{x} = \left(\begin{array}{rrr} 1 & -2 & 3 \end{array}\right) $ % \end{enumerate} % $A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 5 \\ 5 & 3 \end{array}\right)$ とするとき, % \begin{align*} {}^t\!A=A \end{align*} % である。 性質 ${}^t\!A=A$ を満たす行列を \ommindex{対称行列}{たいしょうぎょうれつ}という。

% 任意の行列 $A$, $B$, $C$ と, 実数 $k$, $l$ に対して, 次の行列の演算の性質が成り立つ。 % \begin{enumerate} \item[(1)] $A+B=B+A$ \item[(2)] $k(A+B)=kA+kB$ \item[(3)] $A(B+C)=AB+AC$ \item[(4)] $(AB)C=A(BC)$ \item[(5)] $(kA)B=A(kB)=k(AB)$ \item[(6)] $0A=O, \quad O+A=A+O=A$ \item[(7)] $EA=A, \quad AE=A$ \item[(8)] ${}^t(AB)={}^tB\,{}^t\!A$ \end{enumerate} %

% 正方行列 $A$ に対して % \begin{align*} AX=XA=E \quad (\mbox{$E$ は単位行列}) \quad \cdots \cdots \maru{2} \end{align*} % となる行列 $X$ が存在するとき, $A$ は\ommindex{正則}{せいそく}であるという。 $A$ が正則であるとき, \maru{2} を満たす $X$ を $A$ の \ommindex{逆行列}{ぎゃくぎょうれつ}といい, $A^{-1}$ で表す。 $A$, $B$ が正則であるとき, 積 $AB$ も正則で, % \begin{align*} (AB)^{-1}=B^{-1}\,A^{-1} \end{align*} % が成り立つ。