数学・工学事典

累乗根

  印刷

平方根 (実数の―)

% $a\ge 0$ に対して $x^2=a$ となる 負でない実数 $x$ を $a$ の\ommindex{平方根}{へいほうこん}といい, 平方根を $\sqrt{a}$ と表す。 したがって, $a\ge 0$ のとき $\sqrt{a}\ge 0$ である。 負の数の平方根は, 実数の範囲では存在しない。 $\sqrt{a}$ を\ommindex{ルート}{るーと}$a$ といい, $\sqrt{\ }$ を\ommindex{根号}{こんごう}という。 %

平方根 (複素数の―)

% 複素数 $a$ に対して $x^2=a$ となる複素数 $x$ を $a$ の \ommindex{平方根}{へいほうこん}といい, $\sqrt{a}$ と表す。 $a\ne 0$ のとき, 極形式で表された複素数 $a=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})$ に対して, $\sqrt{a}$ は % \[ \sqrt{r}\left( \cos{\dfrac{\theta}{2}} + i\sin{\dfrac{\theta}{2}} \right),    \sqrt{r}\left\{ \cos{\left(\dfrac{\theta}{2}+\pi\right)} + i\sin{\left(\dfrac{\theta}{2}+\pi\right)} \right\} \] % の2個の複素数を表す。 $a=0$ のとき, $a$ の平方根は $0$ だけである。 %

累乗根 (実数の―)

% $n$ を2以上の自然数とする。 複素数 $a$ に対して, $x^n=a$ となる複素数 $x$ を $a$ の \ommindex{$\boldsymbol{n}$乗根}{nじょうこん}といい, $\sqrt[n]{a}$ と表す。 $a\ne 0$ のとき, 極形式で表された複素数 $a=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})$ に対して, $\sqrt[n]{a}$ は % \[ \sqrt{r}\left( \cos{\dfrac{\theta+2k\pi}{n}} + i\sin{\dfrac{\theta+2k\pi}{n}} \right) \quad (k=0,1,2,\ldots, n-1) \] % の $n$ 個の複素数を表す。 2乗根は\ommindex{平方根}{へいほうこん}, 3乗根は\ommindex{立方根}{りっぽうこん}という。 平方根, 立方根, 4乗根, $\ldots$ を総称して \ommindex{累乗根}{るいじょうこん}という。 %

累乗根 (複素数の―)

% $n$ を2以上の自然数とする。 複素数 $a$ に対して, $x^n=a$ となる複素数 $x$ を $a$ の \ommindex{$\boldsymbol{n}$乗根}{nじょうこん}といい, $\sqrt[n]{a}$ と表す。 $a\ne 0$ のとき, 極形式で表された複素数 $a=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})$ に対して, $\sqrt[n]{a}$ は % \[ \sqrt{r}\left( \cos{\dfrac{\theta+2k\pi}{n}} + i\sin{\dfrac{\theta+2k\pi}{n}} \right) \quad (k=0,1,2,\ldots, n-1) \] % の $n$ 個の複素数を表す。 2乗根は\ommindex{平方根}{へいほうこん}, 3乗根は\ommindex{立方根}{りっぽうこん}という。 平方根, 立方根, 4乗根, \ldots を総称して \ommindex{累乗根}{るいじょうこん}という。 %