発散
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空間のベクトル場 $\vt{a}=a_x\vt{i}+a_y\vt{j}+a_z\vt{k}$ に対して,
微分演算子
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\begin{align*}
\nabla
=
\vt{i}\frac{\partial}{\partial x}
+
\vt{j}\frac{\partial}{\partial y}
+
\vt{k}\frac{\partial}{\partial z}
\end{align*}
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を用いて,
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\begin{align*}
\nabla\bdot\vt{a}
&=\left(\vt{i}\frac{\partial}{\partial x}
+\vt{j}\frac{\partial}{\partial y}
+\vt{k}\frac{\partial}{\partial z}\right)
\bdot
(a_x\vt{i}+a_y\vt{j}+a_z\vt{k})
\\
&=
\frac{\partial a_x}{\partial x}
+\frac{\partial a_y}{\partial y}
+\frac{\partial a_z}{\partial z}
\end{align*}
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と定められるスカラー場を
$\vt{a}$ の\ommindex{発散}{はっさん}といい,
$\div{\vt{a}}$ と表す。
発散の性質
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ベクトル場 $\vt{a}$, $\vt{b}$,
スカラー場 $\varphi$ および定数 $c$ に対して,
次の性質が成り立つ。
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\begin{enumerate}
\item[(1)]
$\div(c\,\vt{a})=c\,(\div\vt{a})$
\item[(2)]
$\div(\vt{a}+\vt{b})=\div\vt{a}+\div\vt{b}$
\item[(3)]
$\div(\varphi\,\vt{a})=(\grad{\varphi})\bdot\vt{a}+\varphi\div{\vt{a}}$
\end{enumerate}
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