回転
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空間のベクトル場 $\vt{a}=a_x\vt{i}+a_y\vt{j}+a_z\vt{k}$ に対して,
微分演算子
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\begin{align*}
\nabla
=
\vt{i}\frac{\partial}{\partial x}
+
\vt{j}\frac{\partial}{\partial y}
+
\vt{k}\frac{\partial}{\partial z}
\end{align*}
%
を用いて,
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\begin{align*}
\nabla\times\vt{a}
&=\left(\vt{i}\frac{\partial}{\partial x}
+\vt{j}\frac{\partial}{\partial y}
+\vt{k}\frac{\partial}{\partial z}\right)
\times
(a_x\vt{i}+a_y\vt{j}+a_z\vt{k})
\\
&=
\left|\begin{array}{cC{2em}c}
\vt{i} & \frac{\partial}{\partial x} & a_x
\\[0.5em]
\vt{j} & \frac{\partial}{\partial y} & a_y
\\[0.5em]
\vt{k} & \frac{\partial}{\partial z} & a_z
\end{array}\right|
\\
&=
\vt{i}\left|\begin{array}{C{2em}c}
\frac{\partial}{\partial y} & a_y
\\[0.5em]
\frac{\partial}{\partial z} & a_z
\end{array}\right|
-
\vt{j}\left|\begin{array}{C{2em}c}
\frac{\partial}{\partial x} & a_x
\\[0.5em]
\frac{\partial}{\partial z} & a_z
\end{array}\right|
+
\vt{k} \left|\begin{array}{C{2em}c}
\frac{\partial}{\partial x} & a_x
\\[0.5em]
\frac{\partial}{\partial y} & a_y
\end{array}\right|
\\
&=
\left(
\frac{\partial a_z}{\partial y}-\frac{\partial a_y}{\partial z}
\right)\vt{i}
-
\left(
\frac{\partial a_z}{\partial x}-\frac{\partial a_x}{\partial z}
\right)\vt{j}
+
\left(
\frac{\partial a_y}{\partial x}-\frac{\partial a_x}{\partial y}
\right)\vt{k}
\end{align*}
%
と定められるベクトル場を
$\vt{a}$ の\ommindex{回転}{かいてん}といい,
$\rot{\vt{a}}$ または $\curl{\vt{a}}$ と表す。
回転の性質
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ベクトル場 $\vt{a}$, $\vt{b}$,
スカラー場 $\varphi$ および定数 $c$ に対して,
次の性質が成り立つ。
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\begin{enumerate}
\item[(1)]
$\rot(c\,\vt{a})=c\,(\rot\vt{a})$
\item[(2)]
$\rot(\vt{a}+\vt{b})=\rot\vt{a}
+\rot\vt{b}$
\item[(3)]
$\rot(\varphi\,\vt{a})=
(\grad\varphi)\times\vt{a}
+\varphi\,(\rot\vt{a})$
\item[(4)]
$\rot(\grad\varphi)
=\vt{0}$
\item[(5)]
$\div(\rot\vt{a})=0$
\end{enumerate}
%
