% スカラー場 $\varphi(x,y,z)$ と, $uv$ 平面上の領域 D で定義された 曲面 ${\text{S}}: \vt{r}=x(u,v)\vt{i}+y(u,v)\vt{j}+z(u,v)\vt{k}$ に対して, $\varphi(u,v)=\varphi(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ と表すとき % \begin{align*} \int_{\text{S}}\varphi\,d\sigma = \int_{\text{D}} \varphi(u,v) \left| \frac{\partial \vt{r}}{du} \times \frac{\partial \vt{r}}{dv} \right|\,dudv \end{align*} % を, 曲面 D 上のスカラー場 $\varphi$ の \ommindex{面積分}{めんせきぶん}という。 とくに, $\varphi=1$ のとき, 面積分の値は \ommindex{曲面の面積}{きょくめんのめんせき} $\sigma$ を表す。 % \begin{align*} \sigma = \int_{\text{D}} \left| \frac{\partial \vt{r}}{du} \times \frac{\partial \vt{r}}{dv} \right|\,dudv \end{align*} % %

% 各点に2つずつある単位法線ベクトルのうち1つを, 曲面全体で連続的に選ぶことができるとき, この曲面は\ommindex{向き付け可能}{むきづけかのう}であるといい, 選んだベクトルを\ommindex{外向き}{そとむき}, もう一方を\ommindex{内向き}{うちむき}であるという。 曲面が向き付け可能であるとき, 外向きの単位法線ベクトルを $\vt{n}$ とするとき, % \begin{align*} \vt{n} = \pm \frac{1}{\displaystyle \left| \frac{\partial \vt{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vt{r}}{\partial v} \right|} \frac{\partial \vt{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vt{r}}{\partial v} \end{align*} % である。 ここで, 符号は $\displaystyle \frac{\partial \vt{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vt{r}}{\partial v}$ が外向きにときに $+$, 内向きのときに $-$ を選ぶものとする。 このとき, % \begin{align*} \int_{\text{S}} \vt{a}\vt{\cdot }d\vt{S} &= \int_{\text{S}} \vt{a}\vt{\cdot }\vt{n}\,d\sigma \\ &= \pm \int\!\!\!\int_{\text{D}} \vt{a}\vt{\cdot }\left( \frac{\partial \vt{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vt{r}}{\partial v} \right)\,dudv \end{align*} % を, 曲面 S に沿うベクトル場 $\vt{a}$ の \ommindex{面積分}{めんせきぶん}という。 %