グリーンの定理
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C を正の向きをもつ $xy$ 平面上の単一閉曲線とし,
C の内部の領域 D とする。
また, 関数 $P(x,y)$,
$Q(x,y)$ は偏微分可能で,
そのすべての偏導関数が連続であるとする。
このとき,
次が成り立つ。
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\begin{align*}
\int\!\!\!\int_{\text{D}}\left(
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}
\right)\,dxdy
=
\int_{\text{C}} P\,dx+\int_{\text{C}} Q\,dy
\end{align*}
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これを\ommindex{グリーンの定理}{ぐりーんのていり}という。
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ストークスの定理
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向きが定められた曲面 S の境界線を C とし,
C は正の向きをもつ単一閉曲線であるとする。
また,
ベクトル場 $\vt{a}$ が S を含む領域で定義されているとする。
このとき,
$\vt{a}$ の C に沿う線積分の値は,
$\rot{\vt{a}}$ の S における面積分の値に等しい。
すなわち,
次が成り立つ。
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\begin{align*}
\int_{\text{C}}\vt{a}\vt{\cdot} d\vt{r}
=
\int_{\text{S}}(\rot\vt{a})\vt{\cdot} d\vt{S}
\end{align*}
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これを\ommindex{ストークスの定理}{すとーくすのていり}という。
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