ばねが自然の長さであるときの質点の位置を原点とする。
ばねの先端にとりつけられた質点 P の,
時刻 $t$ における質点の位置を $x(t)$,
速度を $v(t)$ とする。
\reff{ばね定数}{フックの法則} $k$ のばねが $x$ だけ伸びたとき,
ばねが元の長さ戻ろうとして質点に加わる力は
%
\begin{align*}
F_1=-kx
\end{align*}
%
である(\reff{フックの法則}{フックの法則})。
また,
質点が速度に比例する抵抗を受けるとき,
質点に加わる力 $F_2$ は速度と逆向きであるから
%
\begin{align*}
F_2=-\gamma v(t)
\end{align*}
%
となる。
したがって,
質点 P の\reff{運動方程式}{運動の第2法則}は
%
\begin{align*}
-kx(t)-\gamma v(t)=mx''(t)
\end{align*}
%
となる。
$v(t)=x'(t)$ であるから,
質点の位置 $x(t)$ に関する
\hook{定数係数2階線形微分方程式}{定数係数2階線形微分方程式}
%
\begin{align*}
mx''(t)+\gamma x'(t)+kx(t)=0
\end{align*}
%
が成り立つ。
この方程式の\reff{特性方程式}{定数係数2階線形微分方程式}は
%
\begin{align*}
m\lambda^2+\gamma \lambda+k=0
\end{align*}
%
となるから,
質点の運動は次のように分類することができる。
%
\begin{enumerate}
\item[i)]
$\gamma^2-4mk>0$ のとき特性方程式は2つの実数解
%
\begin{align*}
\lambda=\frac{-\gamma\pm\sqrt{\gamma^2-4mk}}{2m}
\end{align*}
%
をもつ。
解の形からこの解は負であり,
これを $-\alpha$, $-\beta$ ($\alpha$, $\beta>0$) とおくと
%
\begin{align*}
x(t)=Ae^{-\alpha t}+Be^{-\beta t}
\quad
(\mbox{$A$, $B$ は任意定数})
\end{align*}
%
となる。
したがって,
質点は振動せず,
やがて元の長さに戻っていく。
\item[ii)]
$\gamma^2-4mk=0$ のとき特性方程式は2重解
%
\begin{align*}
\lambda=\frac{-\gamma}{2m}<0
\end{align*}
%
をもつ。
この解は負であり,
これを $-\alpha$ とおくと
%
\begin{align*}
x(t)=e^{-\alpha t}(At+B)
\quad
(\mbox{$A$, $B$ は任意定数})
\end{align*}
%
となる。
この場合も質点は振動せず,
やがて元の長さに戻っていく。
\item[iii)]
$\gamma^2-4mk<0$ のとき特性方程式は虚数解
%
\begin{align*}
\lambda=\frac{-\gamma\pm\sqrt{4mk-\gamma^2}\,i}{2m}
\end{align*}
%
をもつ。
これを $-\alpha\pm i\omega $ ($\alpha\ge 0$) とおくと
%
\begin{align*}
x(t)=e^{-\alpha t}(A\cos{\omega t}+B\sin{\omega t})
\quad
(\mbox{$A$, $B$ は任意定数})
\end{align*}
%
となる。
$\gamma=0$,
すなわち,
空気抵抗がなければ $\alpha=0$ となり,
質点は\reff{単振動}{単振動}を行う。
$\gamma>0$ のとき, 質点は\reff{減衰振動}{単振動}を行う。
\end{enumerate}
