力の $x$ 成分は,
位置エネルギーの $x$ に関する\ommindex{偏導関数}{へんどうかんすう}であるから,
%
\begin{align*}
F_x
&=
-\frac{\partial U}{\partial x}
\\
&=
-\frac{dU}{dr}\cdot \frac{\partial r}{\partial x}
\\
&=
-\frac{d}{dr}\left(-\frac{GMm}{r}\right)
\cdot
\frac{\partial }{\partial x}\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right)
\\
&=
-\frac{GMm}{r^2}\cdot
\frac{1}{\,2\,}\left(x^2+y^2+z^2\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot 2x
\\
&=
-\frac{GMmx}{r^3}
\end{align*}
%
となる。
同様にして,
$y$ 成分と $z$ 成分は,
%
\begin{align*}
F_y=-\frac{GMmy}{r^3},
\quad
F_z=-\frac{GMmz}{r^3}
\end{align*}
%
となる。
したがって,
求める\ommindex{万有引力}{ばんゆういんりょく}の式
%
\begin{align*}
\vt{F}
&=F_x\vt{i}+F_y\vt{j}+F_z\vt{k}
\\
&=
-\frac{GMm}{r^3}(
x\,\vt{i}+y\,\vt{j}+z\,\vt{k}
)
\\
&=
-\frac{GMm}{r^2}\cdot \frac{\vt{r}}{r}
\end{align*}
%
が得られる。