図の様に平面内に座標軸をとり， ボールの質量：$m$， 　位置座標：$\left( {x,y} \right)$，速度：$\left( {{v_x},{v_y}} \right)$， 　初期位置：$\left( 0, 0 \right)$，初速度：$\left( {{v_0}\cos \theta ,{v_0}\sin \theta } \right)$ サルの質量：$M$， 　位置座標：$\left( {x',y'} \right)$，速度：$\left( {{v_x}^\prime ,{v_y}^\prime } \right)$， 　初期位置：$\left( \ell, \ell \tan\theta \right)$，初速度：$\left( 0, 0 \right)$とする。 ボール，サルの$x,y$方向の各々の運動方程式より， % \begin{align*} ボール：　 0 &= m\frac{{{\rm{d}}{v_x}}}{{{\rm{d}}t}},\quad - mg = m\frac{{{\rm{d}}{v_y}}}{{{\rm{d}}t}} \\ サル：　 0 &= M\frac{{{\rm{d}}{v_x}^\prime }}{{{\rm{d}}t}},\quad - Mg = M\frac{{{\rm{d}}{v_y}^\prime }}{{{\rm{d}}t}} \\ \end{align*} % 初期条件を用いて各々時間$t$で積分して，次式となる。 % \begin{align*} ボール：　 {v_x} &= {v_0}\cos \theta ,\quad {v_y} = {v_0}\sin \theta - gt \\ ∴x &= {v_0}t\cos \theta ,\quad y = {v_0}t\sin \theta - \frac{1}{2}g{t^2} \\ サル：　 {v_x}^\prime &= 0, \quad {v_y}^\prime = - gt \\ ∴{x^\prime } &= \ell ,\quad {y^\prime } = \ell \tan \theta - \frac{1}{2}g{t^2} \\ \end{align*} % サルがボールをキャッチできる条件は，$x = x'$となる時刻$T$で$y = y'$であるから， % \begin{align*} x\left( T \right) &= {v_0}T\cos \theta = x'\left( T \right) = \ell \\ ∴T &= \frac{\ell }{{{v_0}\cos \theta }} \\ y\left( T \right) &= {v_0}T\sin \theta - \frac{1}{2}g{T^2},\quad y'\left( T \right) = \ell \tan \theta - \frac{1}{2}g{T^2} \\ y\left( T \right) - y'\left( T \right) &= {v_0}T\sin \theta - \frac{1}{2}g{T^2} - \left( {\ell \tan \theta - \frac{1}{2}g{T^2}} \right)\\ &= {v_0}\sin \theta \frac{l}{{{v_0}\cos \theta }} - \ell \tan \theta = 0 \end{align*} % $x\left( T \right) = x'\left( T \right),y\left( T \right) = y'\left( T \right)$となり，サルはボールをキャッチできる。 %=image:/media/2014/01/27/139077942782965800.png: