(a) 車の質量$m[\rm{kg}]$、重力加速度$g=9.8\rm{m}/\rm{s}^2$として，垂直抗力の大きさ$N[\rm{N}]$は，重力の大きさに等しいから，
\[ N = mg \]
ブレーキによる摩擦力$F$ [N]は、車輪と道路との間の動摩擦係数$\mu’$、進行方向を正として，
\[ F = - \mu 'N = - \mu 'mg \]
運動方程式は，加速度$a$として，
\[ - \mu 'mg = ma,\quad \therefore a = - \mu 'g \]
速度$v$は，時刻$t$で積分し，初速$v_0=36\rm{km/h}=10\rm{m/s}$より，
\[ v = - \mu 'gt + {v_0} …[1]\]
位置$x$は，時刻$t$で積分し，初期位置$x_0=0\rm{m}$として，
\[ x = - \frac{1}{2}\mu 'g{t^2} + {v_0}t …[2]\]
[1],[2]式より，時刻$t$を消去して，
%
\begin{align*}
x &= - \frac{1}{2}\mu 'g{\left( { - \frac{{v - {v_0}}}{{\mu 'g}}} \right)^2} + {v_0}\left( { - \frac{{v - {v_0}}}{{\mu 'g}}} \right) \\
&= - \frac{1}{2}\frac{{{{\left( {v - {v_0}} \right)}^2}}}{{\mu 'g}} - \frac{{{v_0}\left( {v - {v_0}} \right)}}{{\mu 'g}} = - \frac{{{{\left( {v - {v_0}} \right)}^2} + 2{v_0}\left( {v - {v_0}} \right)}}{{2\mu 'g}}\\
&= \frac{{\left( {v - {v_0} + 2{v_0}} \right)\left( {v - {v_0}} \right)}}{{ - 2\mu 'g}} = \frac{{\left( {v + {v_0}} \right)\left( {v - {v_0}} \right)}}{{ - 2\mu 'g}}\\
&= \frac{{{v^2} - {v_0}^2}}{{ - 2\mu 'g}}\\
\end{align*}
%
従って，停止する（速度$v=0$）までの制動距離$x=10\rm{m}$より，次式で与えられる。 \[ x = \frac{{{v^2} - {v_0}^2}}{{ - 2\mu 'g}} = \frac{{{0^2} - {v_0}^2}}{{ - 2\mu 'g}} = \frac{{{v_0}^2}}{{2\mu 'g}} …[3]\]
\[ \mu ' = \frac{{{v_0}^2}}{{2gx}} = \frac{{{{10}^2}}}{{2 \times 9.8 \times 10}} \cong 0.51 …[4]\]
【別解】 エネルギー原理： 運動エネルギー変化＝成された仕事
\[ \frac{1}{2}m{v^2} - \frac{1}{2}m{v_0}^2 = F \cdot \left( {x - {x_0}} \right) = ma \cdot \left( {x - {x_0}} \right) \]
\[ \therefore {v^2} - {v_0}^2 = 2a\left( {x - {x_0}} \right) \]
からの導出も可能で，[4]式と同一となる。
\[ {0^2} - {v_0}^2 = 2\left( { - \mu 'g} \right)\left( {x - 0} \right),\quad \therefore \mu ' = \frac{{{v_0}^2}}{{2gx}} \]
(b) 上記[1]式に[2]式を代入して，停止する（速度$v=0$）までの制動時間$t$は，次式となる。
\[ v = - \mu 'gt + {v_0} = - \frac{{{v_0}^2}}{{2gx}}gt + {v_0} = - \frac{{{v_0}^2}}{{2x}}t + {v_0} = 0, \quad \frac{{{v_0}}}{{2x}}t = 1 \]
\[ \therefore t = \frac{{2x}}{{{v_0}}} = \frac{{2 \times 10}}{{10}} = 2.0\rm{s} \]
(c) 上記[3]式より，初速が${v_0}^\prime = 2{v_0}[\rm{m/s}]$の場合の，制動距離$x’[\rm{m}]$は，次式で与えられる。
\[ x' = \frac{{{{({v_0}^\prime )}^2}}}{{2\mu 'g}} = \frac{{{{\left( {2{v_0}} \right)}^2}}}{{2\frac{{{v_0}^2}}{{2gx}}g}} = 4x = 4 \times 10 = 40\rm{m} \]
