適用レベル
難易度: ★★★
図に示すような鉄板(厚み$30\,\rm{mm}$)と銅版(厚み$52\,\rm{mm}$)で，発熱量$60.9\,\rm{kW/m^2}$のヒーターをはさんだ物体があり，鉄板側の表面温度が$600^\circ \rm{C}$，銅版側の表面温度が$50^\rm\circ C$に維持されているとき，次の問いに答えよ．
ただし，鉄板および銅版の熱伝導率は，それぞれ$54\, \rm W/(m\cdot K)$，$390\,\rm W/(m\cdot K)$であり，熱は厚み方向にしか流れないものとし，ヒーターの厚みは無視できるとする．
%=image:/media/2015/01/15/142125719371610000.png:
$(1)$
図に示すように，$q_1,q_2$をそれぞれ鉄板および銅版中を流れる熱流束$[\rm kW/m^2]$(右方向を正)としたとき，両者に成り立つ関係を式で示せ．
$(2)$
ヒーターの温度$[^\rm\circ C]$を求めよ．
$(3)$
鉄板および銅版を流れる熱流束$[\rm kW/m^2]$をそれぞれ求めよ．
$(1)$
\[
q_2=q_1+60.9
\]
$(2)$
ヒーターの温度を$T$で表すと
\[
\begin{align}
q_1&=\frac{(600-T)}{0.03}\times\frac{54}{1000}\\
q_2&=\frac{(T-50)}{0.052}\times\frac{390}{1000}\\\\
(1)の式に代入すると\ &\\
(600-T)\frac{54}{30}+60.9&=(T-50)\frac{390}{52}\\
\left(\frac{390}{52}+\frac{54}{30}\right)T&=\frac{600\times54}{30}+60.9+\frac{50\times390}{52}\\
\therefore T&=\underline{163}
\end{align}
\]
$(3)$
\[
\begin{align}
\frac{600-163}{0.03}\times\frac{54}{1000}&=\underline{786.6\, \rm{kW/m^2}}\\
\frac{163-50}{0.052}\times\frac{390}{1000}&=\underline{847.5\, \rm{kW/m^2}}\\
\end{align}
\]
