対数
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$a$ は $1$ と異なる正の定数とする。
$y=a^x$ を満たす $x$ の値を $x=\log_{a}{y}$ とかき,
これを $a$ を\ommindex{底}{てい}とする $y$ の
\textbf{対数}{たいすう}という。
また,
$y$ を $\log_{a}{y}$ の\ommindex{真数}{しんすう}という。
真数はつねに正である。
これを\ommindex{真数条件}{しんすうじょうけん}という。
対数の値を求める上で,
次の式は重要である。
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\begin{align*}
\log_{a}a^{p}=p
\end{align*}
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対数の計算公式
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$a$, $M$, $N$ を $a\ne 1$ を満たす正の数とするとき,
次の性質が成り立つ。
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\begin{enumerate}
\item[(1)]
$\log_{a}{M}+\log_{a}{N}=\log_{a}{MN}$
\item[(2)]
$\displaystyle \log_{a}{M}-\log_{a}{N}=\log_{a}\frac{M}{N}$
\item[(3)]
$r\log_{a}{M}=\log_{a}{M^r}$
\end{enumerate}
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底の変換公式
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$a$, $M$ を $a\ne 1$ を満たす正の数とするとき,
$1$ と異なる任意の正の数 $b$ に対して,
次の性質が成り立つ。
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\begin{align*}
\log_{a}{M}=\frac{\log_{b}{M}}{\log_{b}{a}}
\end{align*}
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この式は,
左辺の対数の底 $a$ を $b$ に変えるものとなっており,
これを\ommindex{底の変換公式}{ていのへんかんこうしき}という。
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常用対数
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底を $10$ とする対数を\ommindex{常用対数}{じょうようたいすう}という。
$1\le M<10$ を真数とする対数の値 $\log_{10}{M}$ の値は
一覧表となっており,
これを\ommindex{常用対数表}{じょうようたいすうひょう}という。
常用対数表は数値計算に用いられる。
たとえば,
$M=3^{100}$ を計算したいとする。
常用対数表から,
$\log_{10}{3}≒0.4771$ であり,
$\log_{10}{5.13}≒0.71$ であることがわかるから,
対数の性質を用いると
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\begin{align*}
\log_{10}{3}^{100}
&=
100\log_{10}{3}
\\
&≒
100\cdot 0.4771
\\
&=
47.71
\\
&=
47+0.71
\\
&≒
\log_{10}{10^{47}}+\log_{10}{5.13}
\\
&=
\log_{10}{\left(5.13×10^{47}\right)}
\end{align*}
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が得られる。
したがって,
$3^{100}≒5.13×10^{47}$ である。
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