ピストンとシリンダーからなる容器に$n$ [mol] の気体を入れ, 一定温度に保った恒温槽中で準静的（可逆的）に体積を$V_1$ [dm${}^3$] から$V_2$[dm${}^3$] まで膨張させた. 次のそれぞれの場合に, 仕事（$W$）を与える式を示せ. (1) 理想気体の場合 (2) ファンデルワールスの状態方程式に従う気体の場合

$n$ [mol]の理想気体を準静的（可逆的）に加熱することで, 温度を $T_1$ [K]から $T_2$ [K] に昇温した. エンタルピー変化 $\Delta H$ と内部エネルギー変化 $\Delta U$ を与える式を示せ. ただし, 定圧モル熱容量 $C_{\rm{P,m}}$ は, $$C_{\rm{P,m}}=a+bT \ \ \text{[J$\cdot$K${}^{-1}\cdot$mol${}^{-1}$]}\qquad\text{($a,b$ は定数)}\quad\cdots\,(1)$$ で与えられるとする.

ファンデルワールスの状態方程式を用いて, 臨界温度 $T_{\rm{C}}$ [K], 臨界圧力 $P_{\rm{C}}$ [atm], 臨界体積 $V_{\rm{C}}$ [dm${}^3$] を与える式を導け.

閉じた系において, ギブスエネルギー $G$ の微小変化 $dG$ は, $S$をエントロピー, $T$ [K]を絶対温度, $V$ [dm${}^3$]を体積, $P$ [atm]を圧力として, $$dG=-S\,dT+V\,dP\,\quad\cdots\,(1)$$ で与えられる. 式 (1) から, マックスウェルの関係式と呼ばれる次の式を導け. $$-\left(\displaystyle\frac{\partial S}{\partial P}\right)_T=\left(\displaystyle\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P$$

$P$ [atm] を圧力, $T$ [K] を絶対温度とし, $\Delta H$ [kJ$\cdot$mol${}^{-1}$], $\Delta V$ [dm${}^3\cdot$mol${}^{-1}$]をそれぞれ相転移に伴うエンタルピー変化と体積変化とする. $$\frac{dP}{dT}=\displaystyle\frac{\Delta H}{T\Delta V}\qquad \cdots \,(1)$$ を{\bf クラペイロン－クラウジウスの式} という. 大気圧下における液体の沸点を $T_{\rm{b}}$, $T_{\rm{b}}$ における蒸気圧を$P_0$として, 気相－液相の平衡に対する理想気体のクラペイロン－クラウジウスの式を導け. ただし, 液体のモル体積 $V_{\rm{l}}$は, 気体のモル体積 $V_{\rm{g}}$よりも小さく無視できるものとし, モル蒸発熱$\Delta H_{\rm{V}}$は温度によって変化しないとする.