多段CSTRにおける、$N$段目のステップ応答を$F(\theta)$とすると \[F(\theta)= 1-\exp(-N\theta)\sum_{i=1}^{N}\frac{(N\theta)^{i-1}}{(i-1)!}\] である。 この関数を$\theta$で微分して得られる関数$E(\theta)$を {\bf 滞留時間分布関数}という。 \[E(\theta)=N\exp(-N\theta)\frac{(N\theta)^{N-1}}{(N-1)!}\] であることを導け。

　多段CSTRの$N$段目のステップ応答$F(\theta)$に対する滞留時間分布関数は \[E(\theta)=N\exp(-N\theta)\frac{(N\theta)^{N-1}}{(N-1)!}\] である。$[0,\infty)$の区間で積分すると \[\int_0^{\infty}E(\theta)\,d\theta=1\] となることを示せ。

　多段CSTRの$N$段目のステップ応答$F(\theta)$に対する滞留時間分布関数は \[E(\theta)=N\exp(-N\theta)\frac{(N\theta)^{N-1}}{(N-1)!}\] である。$N\to\infty$のとき、$E(\theta)$が最大になるのは $\theta=1$のときであることを示せ。

　多段CSTRの$N$段目のステップ応答$F(\theta)$に対する滞留時間分布関数は \[E(\theta)=N\exp(-N\theta)\frac{(N\theta)^{N-1}}{(N-1)!}\] である。$N=1,2,3$のときのグラフをかけ。