{\bf 方針}
\begin{enumerate}
\item
$E'(\theta)=0$となる$\theta$の値を求め、
その前後における$E'(\theta)$の符号を調べて増減表を作る。
\end{enumerate}
{\bf 解答}
$N=1$のとき、$E(\theta)=\exp(-\theta)$である。
$E'(\theta)=-\exp(-\theta)<0$であるから、
$E(\theta)$は$\theta\ge 0$のとき単調減少であり、
$\lim_{\theta\to\infty}E(\theta)=0$である。
$N=2$のとき、$\displaystyle E(\theta)=2\exp(-2\theta)\cdot\frac{2\theta}{1!}
=4\exp(-2\theta)\cdot \theta$であるので、
\[E'(\theta)=-8\exp(-2\theta)\cdot \theta+4\exp(-2\theta)\cdot 1
=-4\exp(-2\theta)(2\theta-1)\]
となる。したがって、$E'(\theta)=0$となるのは$\theta=\frac12$のときであり、
増減表は下記のようになる。
また、ロピタルの定理より
\begin{align*}
\lim_{\theta\to\infty}E(\theta)
&=\lim_{\theta\to\infty}4\exp(-2\theta)\cdot \theta
=\lim_{\theta\to\infty}\frac{4\theta}{\exp(2\theta)}
=\lim_{\theta\to\infty}\frac{4}{2\exp(2\theta)}=0
\end{align*}
である。
$N=3$のとき、
$\displaystyle E(\theta)=3\exp(-3\theta)\cdot\frac{(3\theta)^2}{2!}
=\frac{27}{2}\exp(-3\theta)\cdot \theta^2$
であり、
\[E'(\theta)
=-\frac{81}{2}\exp(-3\theta)\cdot \theta^2+27\exp(-3\theta)\cdot\theta
=-\frac{27}{2}\exp(-3\theta)\cdot\theta(3\theta-2)\]
となる。
$E'(\theta)=0$となるのは$\theta=\frac23$のときであり、
増減表は下記のようになる。
また、ロピタルの定理により
\begin{align*}
\lim_{\theta\to\infty}E(\theta)
&=\lim_{\theta\to\infty}\frac{27}{2}\exp(-3\theta)\cdot \theta^2
=\lim_{\theta\to\infty}\frac{27\theta^2}{2\exp(3\theta)}\\
&=\lim_{\theta\to\infty}\frac{54\theta}{6\exp(3\theta)}
=\lim_{\theta\to\infty}\frac{54}{18\exp(3\theta)}=0
\end{align*}
である。
以上により、$E(\theta)$のグラフは次のようになる。
$N=5,10,30$のグラフも示した。
%=image:/media/2014/08/26/140898757154746900.jpg:$N=2$のときの増減表
%=image:/media/2014/08/26/140898757154822300.jpg:$N=3$のときの増減表
%=image:/media/2014/08/26/140898757154887800.jpg:$N=1,2,3,10,30$のときのグラフ
