{\bf 方針}
\begin{enumerate}
\item
(1) 滞留時間分布関数は、ステップ応答$F(\theta)$の無次元時間$\theta$に対する
変化率を表す関数である。
\item
(2) $F(\theta)$の微分では、積の微分法則
$\left\{u(x)v(x)\right\}'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
を利用する。
\end{enumerate}
{\bf 解答}
積の微分法則と導関数の線形性により
\begin{align*}
E(\theta)
&=
\left\{1-\exp(-N\theta)\sum_{i=1}^{N}\frac{(N\theta)^{i-1}}{(i-1)!}\right\}'
\nonumber\\
&=-\left\{\exp(-N\theta)\right\}'
\sum_{i=1}^{N}\frac{(N\theta)^{i-1}}{(i-1)!}
-\exp(-N\theta)\left\{\sum_{i=1}^{N}\frac{(N\theta)^{i-1}}
{(i-1)!}\right\}'\nonumber\\
&=-\left\{\exp(-N\theta)\right\}'
\sum_{i=1}^{N}\frac{(N\theta)^{i-1}}{(i-1)!}
-\exp(-N\theta)\sum_{i=1}^{N}\frac{\left\{(N\theta)^{i-1}\right\}'}
{(i-1)!}\nonumber\\
&=N\exp(-N\theta)\sum_{i=1}^{N}\frac{(N\theta)^{i-1}}{(i-1)!}
-\exp(-N\theta)\sum_{i=1}^{N}\frac{(i-1)(N\theta)^{i-2}\cdot N}
{(i-1)!}\nonumber\\
&=N\exp(-N\theta)\sum_{i=1}^{N}\frac{(N\theta)^{i-1}}{(i-1)!}
-N\exp(-N\theta)\sum_{i=2}^{N}\frac{(N\theta)^{i-2}}{(i-2)!}\nonumber\\
&=N\exp(-N\theta)\sum_{i=1}^{N}\frac{(N\theta)^{i-1}}{(i-1)!}
-N\exp(-N\theta)\sum_{i=1}^{N-1}\frac{(N\theta)^{i-1}}{(i-1)!}\nonumber\\
&=N\exp(-N\theta)\cdot\frac{(N\theta)^{N-1}}{(N-1)!}
\end{align*}