例題集

滞留時間分布関数の積分

知識・記憶レベル   難易度:
 多段CSTRの$N$段目のステップ応答$F(\theta)$に対する滞留時間分布関数は \[E(\theta)=N\exp(-N\theta)\frac{(N\theta)^{N-1}}{(N-1)!}\] である。$[0,\infty)$の区間で積分すると \[\int_0^{\infty}E(\theta)\,d\theta=1\] となることを示せ。
{\bf 方針} \begin{enumerate} \item (1) $\displaystyle \int_0^{\infty}E(\theta)\,d\theta =\lim_{M\to\infty}\int_0^M E(\theta)\,d\theta$ \item (2) 部分積分を繰り返していけば、$(N\theta)^{N-1}$の次数が 下がって$(N\theta)^0$に行き着く。 \item (3) $(N-1)!=(N-1)\times(N-2)!$ \end{enumerate} {\bf 解答}  部分積分法により \begin{align*} \int_{0}^{\infty}N\exp(-N\theta)\frac{(N\theta)^{N-1}}{(N-1)!}\,d\theta &=\bigg[-\exp(-N\theta)\frac{(N\theta)^{N-1}}{(N-1)!}\bigg]_0^{\infty}\\ &     +\int_{0}^{\infty}\exp(-N\theta) \frac{(N-1)(N\theta)^{N-2}\cdot N}{(N-1)!}\,d\theta\\ &=0+\int_{0}^{\infty}N\exp(-N\theta)\frac{(N\theta)^{N-2}}{(N-2)!}\,d\theta\\ &=\int_{0}^{\infty}N\exp(-N\theta)\frac{(N\theta)^{N-2}}{(N-2)!}\,d\theta \end{align*} である。これを繰り返していけば、$(N\theta)^k$の次数をどんどん下げる ことができる。 \begin{align*} \int_{0}^{\infty}E(\theta) &=\int_{0}^{\infty}N\exp(-N\theta)\frac{(N\theta)^{N-1}}{(N-1)!}\,d\theta\\ &=\int_{0}^{\infty}N\exp(-N\theta)\frac{(N\theta)^{N-2}}{(N-2)!}\,d\theta\\ & 以上のことを繰り返していくと\\ &=\int_{0}^{\infty}N\exp(-N\theta)\frac{(N\theta)^{0}}{0!}\,d\theta\\ &=\bigg[-\exp(-N\theta)\bigg]_0^{\infty} =-\lim_{\theta\to\infty}\exp(-N\theta)+\exp(0)=1 \end{align*} である。 \noindent 【注】部分積分の式の右辺第1項が0になることは、 ロピタルの定理を繰り返し利用することにより得られる。 \begin{align*} \lim_{\theta\to\infty}\exp(-N\theta)\frac{(N\theta)^{N-1}}{(N-1)!} &=\frac1{(N-1)!} \lim_{\theta\to\infty}\frac{(N\theta)^{N-1}}{\exp(N\theta)}\\ &=\frac1{(N-1)!} \lim_{\theta\to\infty}\frac{(N-1)\cdot(N\theta)^{N-2}\cdot N} {N\exp(N\theta)}\\ &=\frac1{(N-1)!} \lim_{\theta\to\infty}\frac{(N\theta)^{N-2}}{\exp(N\theta)}\\ &  以上を繰り返していくと\\ &=\frac1{(N-1)!} \lim_{\theta\to\infty}\frac{(N\theta)^{0}}{\exp(N\theta)}=0 \end{align*}