{\bf 方針}
\begin{enumerate}
\item
(1) $\displaystyle \int_0^{\infty}E(\theta)\,d\theta
=\lim_{M\to\infty}\int_0^M E(\theta)\,d\theta$
\item
(2) 部分積分を繰り返していけば、$(N\theta)^{N-1}$の次数が
下がって$(N\theta)^0$に行き着く。
\item
(3) $(N-1)!=(N-1)\times(N-2)!$
\end{enumerate}
{\bf 解答}
部分積分法により
\begin{align*}
\int_{0}^{\infty}N\exp(-N\theta)\frac{(N\theta)^{N-1}}{(N-1)!}\,d\theta
&=\bigg[-\exp(-N\theta)\frac{(N\theta)^{N-1}}{(N-1)!}\bigg]_0^{\infty}\\
&
+\int_{0}^{\infty}\exp(-N\theta)
\frac{(N-1)(N\theta)^{N-2}\cdot N}{(N-1)!}\,d\theta\\
&=0+\int_{0}^{\infty}N\exp(-N\theta)\frac{(N\theta)^{N-2}}{(N-2)!}\,d\theta\\
&=\int_{0}^{\infty}N\exp(-N\theta)\frac{(N\theta)^{N-2}}{(N-2)!}\,d\theta
\end{align*}
である。これを繰り返していけば、$(N\theta)^k$の次数をどんどん下げる
ことができる。
\begin{align*}
\int_{0}^{\infty}E(\theta)
&=\int_{0}^{\infty}N\exp(-N\theta)\frac{(N\theta)^{N-1}}{(N-1)!}\,d\theta\\
&=\int_{0}^{\infty}N\exp(-N\theta)\frac{(N\theta)^{N-2}}{(N-2)!}\,d\theta\\
& 以上のことを繰り返していくと\\
&=\int_{0}^{\infty}N\exp(-N\theta)\frac{(N\theta)^{0}}{0!}\,d\theta\\
&=\bigg[-\exp(-N\theta)\bigg]_0^{\infty}
=-\lim_{\theta\to\infty}\exp(-N\theta)+\exp(0)=1
\end{align*}
である。
\noindent
【注】部分積分の式の右辺第1項が0になることは、
ロピタルの定理を繰り返し利用することにより得られる。
\begin{align*}
\lim_{\theta\to\infty}\exp(-N\theta)\frac{(N\theta)^{N-1}}{(N-1)!}
&=\frac1{(N-1)!}
\lim_{\theta\to\infty}\frac{(N\theta)^{N-1}}{\exp(N\theta)}\\
&=\frac1{(N-1)!}
\lim_{\theta\to\infty}\frac{(N-1)\cdot(N\theta)^{N-2}\cdot N}
{N\exp(N\theta)}\\
&=\frac1{(N-1)!}
\lim_{\theta\to\infty}\frac{(N\theta)^{N-2}}{\exp(N\theta)}\\
& 以上を繰り返していくと\\
&=\frac1{(N-1)!}
\lim_{\theta\to\infty}\frac{(N\theta)^{0}}{\exp(N\theta)}=0
\end{align*}