多段CSTR(多段連続槽型反応器、下図参照)に初めに水を満たした状態から、 ある時間に1段目の入り口から$C_{A,\,0}$のモル濃度を持つ溶液を 体積流量$v_0$で連続的に供給させる．この操作はステップ入力と呼ばれる． この操作を行うことによる各槽のモル濃度を、それぞれ $C_{A,\,1},\,C_{A,\,2},\,\ldots$とする． ただし、この操作は定常的操作とし、 各槽の反応器体積$V$は同一であるものとする． また、槽内は完全混合で成分濃度は均一、 反応器内と出口の成分濃度も同一とする． 　このとき、 $i-1$段目と$i$段目の物質収支を考えることにより、 $i$段目のモル濃度は次の微分方程式を満たすことを示せ． \[V\frac{dC_{A,\,i}}{dt}=v_0C_{A,\,i-1}-v_0C_{A,\,i}\] %=image:/media/2014/09/19/141112580638561000.jpg:

$N$個のCSTRを直列に配置し、初めに水を満たした状態から、 ある時間に1段目の入り口から$C_{A,\,0}$のモル濃度を持つ溶液を 体積流量$v_0$で連続的に供給させる． この操作による各槽のモル濃度を、それぞれ $C_{A,\,0},\,C_{A,\,1},\,C_{A,\,2},\,\ldots$とすると、 $i$段目の槽は、 \begin{equation*} V\frac{dC_{A, i}}{dt}=v_0C_{A, i-1}-v_0C_{A, i} \end{equation*} を満たす。 空間時間を$\displaystyle \overline{t}=\frac{NV}{v_0}$、 無次元時間$\theta$を$\displaystyle \theta=\frac{t}{\overline{t}}$により 導入するとき、 この微分方程式を無次元時間$\theta$に関する微分方程式で表せ．

　$N$個のCSTRを直列に配置し、初めに水を満たした状態から、 ある時間に1段目の入り口から$C_{A,\,0}$のモル濃度を持つ溶液を 連続的に供給させると、 $i$段目のモル濃度$C_{A,\,i}$は、 $\theta$を無次元時間とするとき、微分方程式 \begin{align*} \frac{dC_{A,\,i}}{d\theta} =NC_{A,\, i-1}-NC_{A,\, i} \end{align*} で表される． 　この微分方程式の解$C_{A,\,i}$は、漸化式 \[C_{A,\, i}=N\exp(-N\theta)\times \int_0^{\theta}C_{A,\, i-1}\exp(N\theta)d\theta\] を満たすことを示せ。

　$N$個のCSTRを直列に配置し、初めに水を満たした状態から、 ある時間に1段目の入り口から$C_{A,\,0}$のモル濃度を持つ溶液を 連続的に供給させると、 $i$段目のモル濃度$C_{A,\,i}$は、 $\theta$を無次元時間とするとき、 \[C_{A,\, i}(\theta)=N\exp(-N\theta)\times \int_0^{\theta}C_{A,\, i-1}\exp(N\theta)d\theta　 (i\ge 1)\] と表される。 $i=1,2,3$ のときの解を求めよ。

　$N$個のCSTRを直列に配置し、初めに水を満たした状態から、 ある時間に1段目の入り口から$C_{A,\,0}$のモル濃度を持つ溶液を 連続的に供給させると、 $N$段目の濃度$C_{A,\,N}$は \begin{eqnarray*} C_{A,\,N}(\theta) &=&C_{A,\,0} -C_{A,\,0}\exp(-N\theta)\sum_{i=1}^{N}\frac{(N\theta)^{i-1}}{(i-1)!} \end{eqnarray*} と表される。これを入り口濃度$C_{A,\,0}$で割ることにより規格化 した濃度を \begin{equation} F(\theta) =1-\exp(-N\theta)\sum_{i=1}^{N}\frac{(N\theta)^{i-1}}{(i-1)!} \end{equation} とすると、$0<F(\theta)<1$である． 　$N=1,2,3$のとき、$F(\theta)$の増減・凹凸を調べて、そのグラフをかけ。