{\bf 方針}
\begin{enumerate}
\item
関数$E(\theta)$が極大になれば、$E'(\theta)=0$である。
\end{enumerate}
{\bf 解答}
$E(\theta)$の最大値では$E(\theta)=0$である。
\begin{align*}
E'(\theta)
&=-N^2\exp(-N\theta)\frac{(N\theta)^{N-1}}{(N-1)!}
+N\exp(-N\theta)\frac{(N-1)\cdot(N\theta)^{N-2}\cdot N}{(N-1)!}\\
&=-N^2\exp(-N\theta)\left\{\frac{(N\theta)^{N-1}}{(N-1)!}
-\frac{(N\theta)^{N-2}}{(N-2)!}\right\}\\
&=-N^2\exp(-N\theta)\frac{(N\theta)^{N-2}}{(N-1)!}
\left\{N\theta-(N-1)\right\}
\end{align*}
$E'(\theta)=0$となるのは
$\theta=\frac{N-1}{N}=1-\frac1{N}$のときであり、
増減表は下記のようになる。
したがって、
$E(\theta)$は$\displaystyle \theta=1-\frac1{N}$のとき最大になり、
$N\to\infty$のときは$\theta\to 1$となる。
$\displaystyle \theta=\frac{t}{\overline{t}}$であるので、$t=\overline{t}$のとき、
すなわち、経過時間が空間時間と一致するとき$E(\theta)$は最大になる。
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