例題集

滞留時間分布関数の最大値

知識・記憶レベル   難易度:
 多段CSTRの$N$段目のステップ応答$F(\theta)$に対する滞留時間分布関数は \[E(\theta)=N\exp(-N\theta)\frac{(N\theta)^{N-1}}{(N-1)!}\] である。$N\to\infty$のとき、$E(\theta)$が最大になるのは $\theta=1$のときであることを示せ。
{\bf 方針} \begin{enumerate} \item 関数$E(\theta)$が極大になれば、$E'(\theta)=0$である。 \end{enumerate} {\bf 解答}  $E(\theta)$の最大値では$E(\theta)=0$である。 \begin{align*} E'(\theta) &=-N^2\exp(-N\theta)\frac{(N\theta)^{N-1}}{(N-1)!} +N\exp(-N\theta)\frac{(N-1)\cdot(N\theta)^{N-2}\cdot N}{(N-1)!}\\ &=-N^2\exp(-N\theta)\left\{\frac{(N\theta)^{N-1}}{(N-1)!} -\frac{(N\theta)^{N-2}}{(N-2)!}\right\}\\ &=-N^2\exp(-N\theta)\frac{(N\theta)^{N-2}}{(N-1)!} \left\{N\theta-(N-1)\right\} \end{align*} $E'(\theta)=0$となるのは $\theta=\frac{N-1}{N}=1-\frac1{N}$のときであり、 増減表は下記のようになる。 したがって、 $E(\theta)$は$\displaystyle \theta=1-\frac1{N}$のとき最大になり、 $N\to\infty$のときは$\theta\to 1$となる。 $\displaystyle \theta=\frac{t}{\overline{t}}$であるので、$t=\overline{t}$のとき、 すなわち、経過時間が空間時間と一致するとき$E(\theta)$は最大になる。 %=image:/media/2014/08/26/140898625374582400.jpg: