次の問いに答えよ． $(1)$ 物体が直線運動をするとき、動いた距離と動くのに要した時間の比を$(\ a \ )$という． $(2)$ 物体が直線運動をするとき、単位時間における速度の変化率を$(\ b \ )$という． $(3)$ 図はピストンが往復運動する内燃機関を示している． クランク軸は角速度$\omega$で回転するのに対し、ピストンは並進運動を行う． クランクの半径$R$、コネクティングロッドの長さ$L$、クランクの回転速度$\theta=\omega t$、コネクティングロッドと$x$軸がなす角度を$\phi$とするとき、ピストンの変位$x$をクランクの回転角度$\theta$の関数として表せ． ただし次の近似を使用して求めること． \[ \sqrt{1-\left( \frac{R}{L}\right)^2 \sin^2\theta}\ \fallingdotseq\ 1-\frac{1}{2}\left( \frac{R}{L}\right)^2 \sin^2\theta \] %=image:/media/2015/01/22/142193177198027800.png: $(4)$ $(3)$で求めた変位の式を時間$t$で微分し、ピストンの速度$v$を求めよ． $(5)$ $(3)$で求めた変位の式を時間$t$で2回微分し、ピストンの加速度$a$を求めよ． $(6)$ $R=50\ \rm{mm}$、$L=200\ \rm{mm}$、$\omega=100\ \rm{rad/s}$、$\theta=45^\circ$のとき、速度と加速度を求めよ．