例題集

対流熱伝達(3) 円管内の対流熱伝達

適用レベル   難易度: ★★★
図に示すような内径$(d)4.0\,\rm{mm}$の円管があり,管壁温度$(T_w)$を$100^\circ \rm{C}$に保たれた$1.5\,\rm{m}$の加熱区間$(x)$が設けられている.そこに$Tb_1=20^\circ \rm{C}$の水を平均流速$(u_m)\ 0.15\ \rm{m/s}$で流したときに加熱区間出口での水の平均温度を求めたい.以下の問いに答えよ. なお,加熱区間の手前には十分に長い非加熱(断熱)区間が設けられており,水は十分に発達した流れで加熱区間に流入していると仮定してよい. また,水の密度$(\rho)$は$988\ \rm{kg/m^3}$,比熱$(c_p)$は$4.18\,\rm{kJ/(kg\cdot K)}$,熱伝導率$(k)$は$0.640\,\rm{W/(m\cdot K)}$,動粘性係数$(\nu)$は$\rm{0.544\times10^{-6}\,m^2/s}$,プランドル数$(Pr)$は$3.57$とせよ. %=image:/media/2015/01/22/142192744708627000.png: $(1)$ この系のレイノルズ数$Re_{d}$を求めよ $(2)$ 十分に発達した円管内層流熱伝達の平均ヌッセルト数$(Nu_{m})$を与えるハウゼンの式(下式)を用いて,加熱区間の平均熱伝達率$\alpha_m\,\rm{[W/(m^2 \cdot K )]}$を求めよ. \[ Nu_m=3.66+\frac{0.0668}{0.04\tilde{x}^{1/3}+\tilde{x}}\hspace{15px}\tilde{x}\equiv\frac{(x/d)}{(Re_d\cdot Pr)} \] $(3)$ 加熱区間で水の熱量の増加分が管壁からの熱伝達量に等しいことを用いて,水の出口温度$Tb_2[^\circ \rm C]$を求めよ.
$(1)$ \[ \begin{align} Re_d&=\frac{ud}{\nu}=\frac{0.15\times4\times10^{-3}}{0.544\times10^{-6}}\\ &=1.103\times10^3\ \Longrightarrow \ 1.10\times10^3\ (<2300) \end{align} \] $(2)$ \[ \begin{align} \frac{\alpha_m\cdot d}{k}&=Nu_m=3.66+\frac{0.0668}{0.04x^{1/3}+x}\\ x&=\frac{\left(x/d\right)}{\left(Re_d\cdot Pr\right)}\\&=\frac{\left(\frac{1.5}{4\times10^{-3}}\right)}{1.103\times10^3\times3.57}=9.523\times10^{-2}\\ \alpha_m&=\frac{k}{d}Nu_m\\&=\frac{0.640}{4\times10^{-3}}\left(3.66+\frac{0.0668}{0.04\times\left(9.523\times10^{-2}\right)^{1/3}+9.523\times10^{-2}}\right)\\ &=679.8\, \rm{w/m^2\cdot K} \end{align} \] $(3)$ \[ \begin{align} \frac{\pi}{4}\alpha^2\cdot \rho u_m\cdot C_p(Tb_2-20)&=nd\times l\times\alpha_m\frac{(100-20)-(100-Tb_2)}{\ln\left(\frac{100-20}{100-Tb_2}\right)}\\ \Longrightarrow \ln\left(\frac{80}{100-Tb_2}\right)&=\frac{\alpha_m\cdot l}{\frac{d}{4}\cdot\rho u_mC_p}\\ \ln(100-Tb_2)&=\ln(80)-\frac{4\alpha_m\cdot l}{d\cdot \rho u_mC_p}\\ 100-Tb_2&=80 \exp\left[-\frac{4\alpha_m\cdot l}{d\cdot\rho u_mC_p}\right]\\ \therefore Tb_2&=100-80 \exp[-1.646]\\ &=84.58\rm{^\circ C}\\ &=84.6\rm{^\circ C} \end{align} \]