%=image:/media/2015/01/15/142125479298238600.png: $\rm{AB}$区間の曲げモーメント \[ M=0 \ より\\ \begin{align} EI\frac{d^2y}{dx^2}&=0\\ EI\frac{dy}{dx}&=C_1 &\cdots(1)'\\ EIy&=C_1x+C_2 &\cdots(2)'\\ \end{align}\] $\rm{BC}$区間の曲げモーメント \[ M=-P(x-a) \ より\\ \begin{align} EI\frac{d^2y}{dx^2}&=P(x-a)\\ EI\frac{dy}{dx}&=\frac{1}{2}P(x-a)^2+C^3 &\cdots(3)'\\ EIy&=\frac{1}{6}P(x-a)^3+C_3(x-a)+C_4 &\cdots(4)'\\ \end{align} \] ここで,境界条件および連続の条件を考えて積分定数を決定する． 境界条件は， \[ x=l \hspace{15px}で\hspace{15px}\theta=0,y=0 \] 連続の条件は， \[x=a\hspace{15px}で\hspace{15px}\theta_{AB}=\theta_{BC},y_{AB}=y_{BC}\] 式$(3)'$より， \begin{align} EI\frac{dy}{dx}\biggr|_{x=l}&=\frac{1}{2}P\left(l-a\right)^2+C_3\\ &=0\\ &\underline{\therefore C_3=-\frac{P(l-a)^2}{2}} \end{align} 式$(4)'$より \begin{align} EIy\biggr|_{x=l}&=\frac{1}{6}P\left(l-a\right)^3-\frac{1}{2}P(l-a)^3+C_4\\ &=0\\ &\underline{\therefore C_4=\frac{P(l-a)^3}{3}} \end{align} 式$(1)'$，$(3)'$で連続の条件を考えると， \begin{align} EI\frac{dy}{dx}\biggr|_{x=a}&=C_3=C_1\\ &\underline{\therefore C_1=-\frac{P(l-a)^2}{2}} \end{align} 式$(2)'$，$(4)'$で連続の条件を考えると， \begin{align} EIy\biggr|_{x=a}&=C_1a+C_2\\ &=-\frac{P(l-a)^2}{2}\times a+C_2\\ &=\frac{P(l-a)^3}{3} \end{align} 最大たわみは，式$(2)'$の$x=0$で生じるので， \begin{align} &\underline{\therefore C_2=\frac{P(l-a)^2(2l+a)}{6}}&\cdots(5)'\\ &\underline{y_{max}=\frac{P(l-a)^2(2l+a)}{6EI}} \end{align} 一方，ここで断面二次モーメントを求める． まず，図心の$y$方向の（下端からの）位置は， \begin{align} y_G&=\frac{5\times(10\times80)+60\times(100\times10)+115\times(10\times40)}{(10\times80)+(100\times10)+(10\times40)}\\ &\underline{=50\ \rm{mm}} \end{align} 次に，平行軸の定理を用いて， \begin{align} I_y&=I_{y1}+I_{y2}+I_{y3}\\ &=\frac{1}{12}\times80\times10^3+(50-5)^2\times(80\times10)\\ \ &+\frac{1}{12}\times10\times100^3+(50-60)^2\times(10\times100)\\ \ &+\frac{1}{12}\times40\times10^3+(50-115)^2\times(40\times10)\\ &\underline{=4253333.333\ \rm{mm^4}} \end{align} 式$(5)'$に代入すると， \begin{align} y_{max}&=\frac{P(l-a)^2(2l+a)}{6EI}\\ &=\frac{300\times(5000-1000)^2\times(2\times5000+1000)}{6\times206\times10^3\times4253333}\\ &=10.0435\\ &\underline{=1.00\times10^1\ \rm{mm}} \end{align}