$(1)$ 火床と人体の形は複雑であるので，適当な平均値を用いた簡易解法を試みる． \[r_m=1.8 \,{\rm{m}},\ \ \theta_{1m}=90-35=55^\circ, \ \ \theta_{2m}=90-55=35^\circ, \] \[ A_1=1.5 \,\rm{m^2}, \ \ T_1=1500 \,\rm{K}, \ \ A_2=0.8 \,\rm{m^2}, \ \ T_2=310 \,\rm{K}\] ふく射率$\varepsilon_1$の表面$A_1$から放射され，表面$A_2$に入射する放射エネルギーは，表面$A_2$の吸収率$\varepsilon_2$であるから， \[Q_{12}=\frac{\varepsilon_1\sigma T_1^4\cos\theta_{1m}\cos\theta_{2m}}{\pi r_m^2}A_1A_2\varepsilon_2\] 同様に，表面$A_2$から放射され，表面$A_1$に入射する放射エネルギーは， \[Q_{21}=\frac{\varepsilon_2\sigma T_2^4\cos\theta_{2m}\cos\theta_{1m}}{\pi r_m^2}A_2A_1\varepsilon_1\] したがって，表面$A_1$から表面$A_2 $への正味の熱量は， \[\begin{align}Q&=Q_{12}-Q_{21}\\ &=\frac{\sigma( T_1^4ーT_2^4)\varepsilon_1\varepsilon_2\cos\theta_{1m}\cos\theta_{2m}}{\pi r_m^2}A_1A_2\\ &=\frac{5.67\times10^{-8}\times(1500^4ー10^4)\times0.95^2\times\cos55\times \cos35}{\pi\times1.8^2}\\ &=11.9\times 10^3\,\rm{W}\\ &=11.9\,\rm{kW}\end{align}\] $(2)$ 形態係数の考え方(表面$A_i$より放射されるふく射エネルギーのうち，表面$A_j$ に届くものの割合を形態係数$F_{ij}$と定義する)より，表面$A_2$が吸収するエネルギーは，他方，表面$A_1$が吸収するエネルギーは$(\varepsilon_1\sigma T_1^4)A_1F_{12}\varepsilon_2$となる． したがって，熱交換量は， \[Q=(\varepsilon_1\sigma T_1^4)A_1F_{12}\varepsilon_2-(\varepsilon_2\sigma T_2^4)A_2F_{21}\varepsilon_1\] 形態係数の対象性から，$A_1F_{12}=A_2F_{21}$が成立するので， \[Q=\sigma (T_1^4ーT_2^4)\varepsilon_1\varepsilon_2A_1F_{12}\] よって，問$(1)$の表現との比較から， \begin{align}F_{12}&=\frac{\cos\theta_{1m}\cos\theta_{2m}}{\pi r_m^2}A_2\\ &=\frac{\cos55\times\cos35}{\pi\times1.8^2}\times0.8\\ &=3.69\times10^2\end{align}