数学・工学事典

関数の極限

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関数の極限

% 変数 $x$ が $a$ と異なる値をとりながら, 定数 $a$ に限りなく近づくとき, % \begin{align*} x\to a \end{align*} % とかく。 また, 変数 $x$ が限りなく大きくなるとき % \begin{align*} x\to \infty \end{align*} % とかき, 変数 $x$ が限りなく小さくなる(負の値で絶対値が限りなく大きくなる)とき % \begin{align*} x\to -\infty \end{align*} % とかく。 $f(x)$ を $x$ の関数とする。 $x\to a$ のとき, 関数の値 $f(x)$ が限りなく $\alpha$ に近づくならば, $x\to a$ のとき $f(x)$ は $\alpha$ に \ommindex{収束}{しゅうそく}するといい % \begin{align*} f(x)\to \alpha\quad (x\to a) \quad \mbox{または}\quad \lim_{x\to a}f(x)=\alpha \end{align*} % と表す。 このとき, $\alpha$ を $x\to a$ のときの関数 $f(x)$ の \ommindex{極限値}という。 $x\to a$ のとき $f(x)$ がどんな値にも収束しないとき, \ommindex{発散}{はっさん}するという。 $x\to a$ のとき $f(x)$ が限りなく大きくなるときは $f(x)$ は\ommindex{無限大に発散する}{むげんだいにはっさん}といい, % \begin{align*} f(x)\to \infty\quad (x\to a) \quad \mbox{または}\quad \lim_{x\to a}f(x)=\infty \end{align*} % と表す。 また, $x\to a$ のとき $f(x)$ が限りなく小さくなる (負の値で絶対値が限りなく大きくなる)ときは \ommindex{マイナス無限大に発散}{まいなすむげんだいにはっさん}するといい, % \begin{align*} f(x)\to -\infty\quad (x\to a) \quad \mbox{または}\quad \lim_{x\to a}f(x)=-\infty \end{align*} % と表す。 $x\to a$ のとき $f(x)$ は 発散するが $\infty$ にも $-\infty$ にも発散しないとき, $f(x)$ は\ommindex{振動}{しんどう}するという。 $x\to a$ の関数 $f(x)$ の変化の様子を \ommindex{関数の極限}{かんすうのきょくげん}という。 以上のことは $x\to a$ は $x\to\infty$, $x\to -\infty$ の場合も同様である。 %

片側極限

% $x$ が $x<a$ を満たしながら $x\to a$ となるとき, % \begin{align*} x\to a+0 \end{align*} % とかき, $x$ が $x>a$ を満たしながら $x\to a$ となるとき, % \begin{align*} x\to a-0 \end{align*} % とかく。 このとき, 極限 % \begin{align*} \lim_{x\to a+0}f(x) \end{align*} % を $f(x)$ の\ommindex{右側極限}{みぎがわきょくげん}といい, % \begin{align*} \lim_{x\to a-0}f(x) \end{align*} % を $f(x)$ の\ommindex{左側極限}{ひだりがわきょくげん}という。 $x\to a$ のとき $f(x)$ が極限値 $\alpha$ に収束するということは, % \begin{align*} \lim_{x\to a+0}f(x)=\lim_{x\to a-0}f(x)=\alpha \end{align*} % であることを意味する。 %

関数の極限値の性質

% $x\to a$ のとき, 関数 $f(x)$, $g(x)$ がともに収束するとき, $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=\alpha$, $\displaystyle \lim_{x\to a}g(x)=\beta$ とすれば, 次が成り立つ。 % \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left\{f(x)\pm g(x)\right\} = \alpha \pm \beta \quad (\mbox{複号同順})$ \item[(2)] $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)g(x) = \alpha\beta$ \item[(3)] $\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\alpha}{\beta} \quad (\mbox{ただし, $g(x)\ne 0$, $\beta\ne 0$})$ \end{enumerate} % %

連続関数

% $f(x)$ は $x=a$ を含む開区間で定義されているとする。 $x\to a$ のとき, % \begin{align*} \lim_{x\to a}f(x)=f(a) \end{align*} % を満たすとき, $f(x)$ は $x=a$ で\ommindex{連続}{れんぞく}であるという。 $f(x)$ が開区間 $I$ のすべての点で連続であるとき, $f(x)$ は区間 $I$ 上の\ommindex{連続関数}{れんぞくかんすう}という。 %

自然対数

% $a$ を底とする対数関数 $y=\log_{a}{x}$ の導関数は % \begin{align*} \frac{d}{dx}\left(\log_{a}{x}\right) &= \lim_{h\to 0} \frac{\log_{a}{(x+h)}-\log_{a}{x}}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} \log_{a}\left(1+\frac{h}{x}\right)^{\frac{x}{h}} \\ &= \frac{1}{x} \lim_{t\to \pm\infty} \log_{a}\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t} \end{align*} % である。 ここで $t=\frac{x}{h}$ であり, 符号は $h$ の符号と一致する。 極限値 % \begin{align*} \lim_{t\to \pm\infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t} \end{align*} % は存在することが知られており, これを $e$ と表す。 $e=2.7182\ldots $ であり, これを\ommindex{自然対数の底}{しぜんたいすうのてい}という。 自然対数の底を用いると, 単数関数の導関数の公式 % \begin{align*} \left(\log_{a}{x}\right)' = \frac{1}{x}\log_{a}{e} = \frac{1}{x\log_{e}{a}} \end{align*} % が成り立つ。 $e$ を底とする対数関数 $y=\log_{e}{x}$ を \ommindex{自然対数}{しぜんたいすう}といい, $e$ を省略して $y=\log{x}$ と表す。 電卓などでは log natural の意味で $y=\ln(x)$ と かかれている場合が多い。 $\log_{e}{e}=1$ であるから, 自然対数の導関数について % \begin{align*} \left(\log_{}{x}\right)' = \frac{1}{x} \end{align*} % が成り立つ。 $e$ を底とする指数関数 $y=e^x$ の両辺の対数をとると % \begin{align*} \log{y}=\log{e^{x}}=x \end{align*} % となる。 $\log{y}=x$ を $x$ で微分すると % \begin{align*} \frac{y'}{y}=1 \quad \mbox{すなわち} \quad y'=y \end{align*} % となり, これを書き直すと, 指数関数の導関数の公式 % \begin{align*} \left(e^x\right)'=e^x \end{align*} % が得られる。 %

双曲線関数

正弦関数の極限値

% 図の扇形 O-AB の中心角は $\theta$, 半径は $1$ である。 %=image:/media/2014/08/02/140697860308284400.png: このとき % \begin{align*} \text{BC}=\sin{\theta}, \quad \mbox{弧 AB}=\theta, \quad \text{AD}=\tan{\theta}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}} \end{align*} % であり, これらの長さの比較から % \begin{align*} \sin{\theta}<\theta<\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}} \end{align*} % が得られる。 この式を変形すると % \begin{align*} 1>\frac{\sin{\theta}}{\theta}>\cos{\theta} \end{align*} % となり, $\theta\to 0$ とすれば, 極限値 % \begin{align*} \lim_{\theta\to 0}\frac{\sin{\theta}}{\theta}=1 \end{align*} % が得られる。 これを用いると % \begin{align*} \left(\sin{x}\right)' &= \lim_{h\to 0}\frac{\sin{(x+h)}-\sin{x}}{h} \\ &= \lim_{h\to 0}\frac{2\cos{\left(x+\frac{h}{2}\right)}\sin\frac{h}{2}}{h} \\ &= \lim_{\theta\to 0} \frac{\cos{\left(x+\theta\right)}\sin\frac{h}{2}}{\theta} \quad \left(\theta=\frac{h}{2}\right) \\ &= \cos{x} \end{align*} % となる。 同じようにして次の導関数の公式を求めることができる。 % \begin{align*} \left(\sin{x}\right)'=\cos{x} , \quad \left(\cos{x}\right)'=-\sin{x} \end{align*} % %