関数の極限
%
変数 $x$ が $a$ と異なる値をとりながら,
定数 $a$ に限りなく近づくとき,
%
\begin{align*}
x\to a
\end{align*}
%
とかく。
また,
変数 $x$ が限りなく大きくなるとき
%
\begin{align*}
x\to \infty
\end{align*}
%
とかき,
変数 $x$ が限りなく小さくなる(負の値で絶対値が限りなく大きくなる)とき
%
\begin{align*}
x\to -\infty
\end{align*}
%
とかく。
$f(x)$ を $x$ の関数とする。
$x\to a$ のとき,
関数の値 $f(x)$ が限りなく $\alpha$ に近づくならば,
$x\to a$ のとき $f(x)$ は $\alpha$ に
\ommindex{収束}{しゅうそく}するといい
%
\begin{align*}
f(x)\to \alpha\quad
(x\to a)
\quad \mbox{または}\quad
\lim_{x\to a}f(x)=\alpha
\end{align*}
%
と表す。
このとき,
$\alpha$ を $x\to a$ のときの関数 $f(x)$ の
\ommindex{極限値}という。
$x\to a$ のとき $f(x)$ がどんな値にも収束しないとき,
\ommindex{発散}{はっさん}するという。
$x\to a$ のとき $f(x)$ が限りなく大きくなるときは
$f(x)$ は\ommindex{無限大に発散する}{むげんだいにはっさん}といい,
%
\begin{align*}
f(x)\to \infty\quad
(x\to a)
\quad \mbox{または}\quad
\lim_{x\to a}f(x)=\infty
\end{align*}
%
と表す。
また,
$x\to a$ のとき $f(x)$ が限りなく小さくなる
(負の値で絶対値が限りなく大きくなる)ときは
\ommindex{マイナス無限大に発散}{まいなすむげんだいにはっさん}するといい,
%
\begin{align*}
f(x)\to -\infty\quad
(x\to a)
\quad \mbox{または}\quad
\lim_{x\to a}f(x)=-\infty
\end{align*}
%
と表す。
$x\to a$ のとき $f(x)$ は
発散するが $\infty$ にも $-\infty$ にも発散しないとき,
$f(x)$ は\ommindex{振動}{しんどう}するという。
$x\to a$ の関数 $f(x)$ の変化の様子を
\ommindex{関数の極限}{かんすうのきょくげん}という。
以上のことは $x\to a$ は $x\to\infty$,
$x\to -\infty$ の場合も同様である。
%
片側極限
%
$x$ が $x<a$ を満たしながら $x\to a$ となるとき,
%
\begin{align*}
x\to a+0
\end{align*}
%
とかき,
$x$ が $x>a$ を満たしながら $x\to a$ となるとき,
%
\begin{align*}
x\to a-0
\end{align*}
%
とかく。
このとき,
極限
%
\begin{align*}
\lim_{x\to a+0}f(x)
\end{align*}
%
を $f(x)$ の\ommindex{右側極限}{みぎがわきょくげん}といい,
%
\begin{align*}
\lim_{x\to a-0}f(x)
\end{align*}
%
を $f(x)$ の\ommindex{左側極限}{ひだりがわきょくげん}という。
$x\to a$ のとき $f(x)$ が極限値 $\alpha$ に収束するということは,
%
\begin{align*}
\lim_{x\to a+0}f(x)=\lim_{x\to a-0}f(x)=\alpha
\end{align*}
%
であることを意味する。
%
関数の極限値の性質
%
$x\to a$ のとき,
関数 $f(x)$,
$g(x)$ がともに収束するとき,
$\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=\alpha$,
$\displaystyle \lim_{x\to a}g(x)=\beta$ とすれば,
次が成り立つ。
%
\begin{enumerate}
\item[(1)]
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left\{f(x)\pm g(x)\right\}
=
\alpha \pm \beta \quad (\mbox{複号同順})$
\item[(2)]
$\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)g(x)
=
\alpha\beta$
\item[(3)]
$\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}
=
\frac{\alpha}{\beta}
\quad
(\mbox{ただし, $g(x)\ne 0$, $\beta\ne 0$})$
\end{enumerate}
%
%
連続関数
%
$f(x)$ は $x=a$ を含む開区間で定義されているとする。
$x\to a$ のとき,
%
\begin{align*}
\lim_{x\to a}f(x)=f(a)
\end{align*}
%
を満たすとき,
$f(x)$ は $x=a$ で\ommindex{連続}{れんぞく}であるという。
$f(x)$ が開区間 $I$ のすべての点で連続であるとき,
$f(x)$ は区間 $I$ 上の\ommindex{連続関数}{れんぞくかんすう}という。
%
自然対数
%
$a$ を底とする対数関数 $y=\log_{a}{x}$ の導関数は
%
\begin{align*}
\frac{d}{dx}\left(\log_{a}{x}\right)
&=
\lim_{h\to 0}
\frac{\log_{a}{(x+h)}-\log_{a}{x}}{h}
\\
&=
\lim_{h\to 0}
\log_{a}\left(1+\frac{h}{x}\right)^{\frac{x}{h}}
\\
&=
\frac{1}{x}
\lim_{t\to \pm\infty}
\log_{a}\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t}
\end{align*}
%
である。
ここで $t=\frac{x}{h}$ であり,
符号は $h$ の符号と一致する。
極限値
%
\begin{align*}
\lim_{t\to \pm\infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t}
\end{align*}
%
は存在することが知られており,
これを $e$ と表す。
$e=2.7182\ldots $ であり,
これを\ommindex{自然対数の底}{しぜんたいすうのてい}という。
自然対数の底を用いると,
単数関数の導関数の公式
%
\begin{align*}
\left(\log_{a}{x}\right)'
=
\frac{1}{x}\log_{a}{e}
=
\frac{1}{x\log_{e}{a}}
\end{align*}
%
が成り立つ。
$e$ を底とする対数関数 $y=\log_{e}{x}$ を
\ommindex{自然対数}{しぜんたいすう}といい,
$e$ を省略して $y=\log{x}$ と表す。
電卓などでは log natural の意味で $y=\ln(x)$ と
かかれている場合が多い。
$\log_{e}{e}=1$ であるから,
自然対数の導関数について
%
\begin{align*}
\left(\log_{}{x}\right)'
=
\frac{1}{x}
\end{align*}
%
が成り立つ。
$e$ を底とする指数関数 $y=e^x$ の両辺の対数をとると
%
\begin{align*}
\log{y}=\log{e^{x}}=x
\end{align*}
%
となる。
$\log{y}=x$ を $x$ で微分すると
%
\begin{align*}
\frac{y'}{y}=1
\quad \mbox{すなわち} \quad
y'=y
\end{align*}
%
となり,
これを書き直すと,
指数関数の導関数の公式
%
\begin{align*}
\left(e^x\right)'=e^x
\end{align*}
%
が得られる。
%
正弦関数の極限値
%
図の扇形 O-AB の中心角は $\theta$,
半径は $1$ である。
%=image:/media/2014/08/02/140697860308284400.png:
このとき
%
\begin{align*}
\text{BC}=\sin{\theta},
\quad
\mbox{弧 AB}=\theta,
\quad
\text{AD}=\tan{\theta}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}
\end{align*}
%
であり,
これらの長さの比較から
%
\begin{align*}
\sin{\theta}<\theta<\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}
\end{align*}
%
が得られる。
この式を変形すると
%
\begin{align*}
1>\frac{\sin{\theta}}{\theta}>\cos{\theta}
\end{align*}
%
となり,
$\theta\to 0$ とすれば,
極限値
%
\begin{align*}
\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin{\theta}}{\theta}=1
\end{align*}
%
が得られる。
これを用いると
%
\begin{align*}
\left(\sin{x}\right)'
&=
\lim_{h\to 0}\frac{\sin{(x+h)}-\sin{x}}{h}
\\
&=
\lim_{h\to 0}\frac{2\cos{\left(x+\frac{h}{2}\right)}\sin\frac{h}{2}}{h}
\\
&=
\lim_{\theta\to 0}
\frac{\cos{\left(x+\theta\right)}\sin\frac{h}{2}}{\theta}
\quad \left(\theta=\frac{h}{2}\right)
\\
&=
\cos{x}
\end{align*}
%
となる。
同じようにして次の導関数の公式を求めることができる。
%
\begin{align*}
\left(\sin{x}\right)'=\cos{x}
, \quad
\left(\cos{x}\right)'=-\sin{x}
\end{align*}
%
%