$(1)$ 空気の定容比熱$c_v$は，$c_v = c_p - R = 0.719\,\rm{kJ (kg \cdot kJ)}$ 題意の状態の空気が周囲環境の状態に変わるまでの内部エネルギ変化は， \[ \begin{align} U_1 - U_0 &= m c_v (T_1 - T_0) \\ &= 100 \times 0.719 \times (1000-25) \\ &= 70102 \ \rm{kJ} \end{align} \] 一方，エントロピ変化は， \[ \begin{align} S_1-S_0 &=m \left\{ c_p \ln \left( \frac{T_1}{T_0} \right) - R \ln \left(\frac{p_1}{p_0} \right)\right\} \\ &=100 \left\{ 1.006 \times \ln \left( \frac{1000 + 273}{25 + 273} \right) - 0.287 \times \ln \left( \frac{2}{0.1013} \right) \right\} \\ &=60.468 \ \rm{kJ/K} \end{align} \] 容積は， \[ V_1= \frac{mRT_1}{p_1} = 100 \times 0.287 \times 10^3 \times \left( \frac{1273}{2 \times 10^6} \right) = 18.268 \ \rm{m^3} \] \[ V_0= \frac{mRT_0}{p_0} = 100 \times 0.287 \times 10^3 \times \left( \frac{298}{0.1013 \times 10^6} \right) = 84.428 \ \rm{m^3} \] したがって，閉じた系の有効エネルギの定義より， \[ \begin{align} Q_a &= (U_1 - U_0) - T_0 (S_1 - S_0) + P_0 (V_1 - V_0) \\ &= 70102 \times 10^3 - 298 \times 60.468 \times 10^3 + 0.1013 \times 10^6 \times (18.268 - 84.428) \\ &= 45.38 \times 10^6 \ \rm{J} \\ &=45.38 \ \rm{MJ} \end{align} \] $(2)$ 題意の状態の空気が周囲環境の状態に変わるまでのエンタルピ変化は， \[ \begin{align} H_1-H_0 &= mc_p (T_1 - T_0) \\ &= 100 \times 1.006 \times (1000-25) \\ &=98085 \ \rm{kJ} \end{align} \] 一方，エントロピ変化は， \[S_1 - S_0 = 60.468 \ \rm{kJ/K} \] したがって，開いた系の有効エネルギーの定義より， \[ \begin{align} Q_a &= (H_1 - H_0) - T_0 (S_1 - S_0) \\ &=98085 - 298 \times 60.468 \\ &= 80.1 \times 10^3 \ \rm{kJ} \\ &= 80.1 \ \rm{MJ} \end{align} \] (解説) 理想気体のエントロピ変化を導出する． エントロピの定義より， \[ dS = \frac{dQ}{T} \ \cdots (1)' \] 理想気体における熱力学の第1法則より， \[ dQ= dU +dW = mc_v dT + pdV \ \ \ (第1基礎式) \cdots (2)' \\ dQ= dH +dL = mc_p dT - Vdp \ \ \ (第2基礎式) \cdots (3)' \] 式$(1)'$に，式$(2)'$と式$(3)'$をそれぞれ代入して，理想気体の状態方程式$pv = RT$の関係を用いると， \[ \begin{align} dS &= \frac{mc_v dT + pdV}{T} \\ &= mc_v \frac{dT}{T} + m \frac {pdv}{T} \\ &= m \left( c_v \frac{dT}{T} + R \frac{dv}{v} \right) \ \ \ \cdots (4)' \\ dS &= \frac{mc_p dT - Vdp}{T} \\ &= mc_p \frac{dT}{T} - m \frac {vdp}{T} \\ &= m \left( c_p \frac{dT}{T} - R \frac{dp}{p} \right) \ \ \ \cdots (5)' \end{align} \] 理想気体が状態1から状態2まで変化したときのエントロピ変化$ \Delta S = S_2-S_1$は，理想気体の比熱$(c_v, \ c_p)$は一定であるとして，式$(4)'$，$(5)'$の両辺をそれぞれ積分し， \[ S_2 - S_1 = m \left( c_v \ln \frac{T_2}{T_1} + R \ln \frac {v_2}{v_1} \right) \\ S_2 - S_1 = m \left( c_p \ln \frac{T_2}{T_1} + R \ln \frac {p_2}{p_1} \right) \] が導出される．