$(1)$ \[\begin{align} F_H=\rho g y_G A_H &=1000 \times 9.8 \times(2+1.3) \times (2.6\times 1)\\ &=94084 \,\rm{N} \end{align}\] \[\begin{align} F_V=\rho g V &=1000 \times 9.8 \times\left\{(4+4.2) \times1\right\}\\ &=80360 \,\rm{ N} \end{align}\] 全圧力の大きさは \[\begin{align} F&=\sqrt{{F_H}^2+{F_V}^2}\\ &=116.3\times10^3\ \rm{N}\\ &=116\ \,\rm{kN} \end{align}\] $(2)$ \[ \alpha=\tan^{-1}\frac{F_V}{F_H}=43.7^\circ \] (解説) 曲面に作用する全圧力 図を参考に，微小要素$dA$に働く全圧力は， \[ dF=pdA \] 全圧力$dF$を直交分解して考える． \[\begin{align} dF_x &=dF\cos\theta\\ &=pdA\cos\theta\\ &=pdA_x\ \ \ \cdots(1)' \end{align}\] \[\begin{align} dF_y &=dF\sin\theta\\ &=pdA\sin\theta\\ &=pdA_y\ \ \ \cdots(2)' \end{align}\] ここで，$dA_x$は微小面積$dA$の$x$方向の投影面積，$dA_y$は微小面積$dA$の$y$方向の投影面積． 圧力$p=\rho gy$として，式$(1)'$，$(2)'$の両辺を積分して， \[\begin{align} F_x &=\int_{A_x}pdA_x\\ &=\int_{A_x}\rho gydA_x\\ &=\rho g\int_{A_x}ydA_x\\ &=\rho g y_G A_x \ \ \ \cdots(3)' \end{align}\] 図心の定義 $\ y_G=\frac{\int_{A_x} ydA_x}{A_x}$ \[\begin{align} F_y &=\int_{A_y}pdA_y\\ &=\int_{A_y}\rho gydA_y\\ &=\rho g\int_{A_y}ydA_y\\ &=\rho g \int^{x_2}_{x_1}y\cdot b(x)dx\\ &=\rho g V\ \ \ \cdots(4)' \end{align}\] ここで，$V$は曲面から水面までの容積である． すなわち，$\rho gV$はゲート上の容積分の浮力，あるいは重力に等しい． 全圧力は \[ F=\left(F_x,F_y\right) \] Fの大きさは \[ F=\sqrt{{F_x}^2+{F_y}^2}\\ \] Fの方向は \[ \theta=\tan^{-1}\frac{F_y}{F_x}\\ \] %=image:/media/2015/01/15/142125795512305000.png: