{\bf 方針} \begin{enumerate} \item 1階線形微分方程式 \[\frac{dx}{dt}+P(t)x=Q(t)\] の解は、 \[x(t)=e^{-\int P\,dt}\cdot \left(\int Q(t)e^{\int P\,dt}\,dt+\rm const \right)\] である。 \end{enumerate} {\bf 解答} 与えられた微分方程式は、 \begin{equation} \frac{dC_{A,\,i}}{d\theta}+NC_{A,\, i}=NC_{A,\, i-1} \end{equation} となり、1階線形微分方程式である． したがって、解の公式により、 \[C_{A,\,i}=\exp(-N\theta)\times \left(\int_0^{\theta}NC_{A,\,i-1}\exp(N\theta)\,d\theta+\rm const\right)\] となる．初期条件より$\theta=0$のとき$C_{A,\, i}=0$であるから、 \[C_{A,\,i}(0)=e^{0}\cdot \rm const=0　 すなわち　 \rm const=0\] である．したがって、 \begin{equation} C_{A,\, i}=N\exp(-N\theta)\times \int_0^{\theta}C_{A,\, i-1}\exp(N\theta)d\theta \end{equation} が成り立つ。