{\bf 解答}
\begin{enumerate}
\item
(1) $i=1$のとき、
\[C_{A,\, 1}(\theta)=N\exp(-N\theta)\times
\int_0^{\theta}C_{\,A,\, 0}\exp(N\theta)d\theta\]
である。$C_{A,\,0}$は定数であるから、
\begin{eqnarray*}
C_{A,\, 1}(\theta)
&=&NC_{A,\,0}\exp(-N\theta)
\times\int_{0}^{\theta}\exp(N\theta)d\theta
\nonumber\\
&=&NC_{A,\, 0}\exp(-N\theta)\times
\bigg[\frac1{N}\exp(N\theta)\bigg]_0^{\theta}\nonumber\\
&=&C_{A,\, 0}\exp(-N\theta)\times\left\{\exp(N\theta)-1\right\}
\nonumber\\
&=&C_{A,\, 0}-C_{A,\, 0}\exp(-N\theta)
\end{eqnarray*}
である。
\item
(2) $i=2$のとき、与えられた漸化式より
\begin{eqnarray}
C_{A,\,2}(\theta)
&=&N\exp(-N\theta)\times\int_0^{\theta}C_{A,\,1}\exp(N\theta)d\theta
\nonumber
\end{eqnarray}
である。(1)の結果を利用する。
$\exp(-N\theta)\exp(N\theta)=\exp(0)=1$であるから
\begin{eqnarray}
C_{A,\,2}(\theta)
&=&N\exp(-N\theta)\times\int_0^{\theta}
\left\{C_{A,\,0}-C_{A,\,0}\exp(-N\theta)\right\}\exp(N\theta)d\theta
\nonumber\\
&=&NC_{A,\,0}\exp(-N\theta)\times\int_0^{\theta}
\left\{\exp(N\theta)-1\right\}d\theta\nonumber\\
&=&NC_{A,\,0}\exp(-N\theta)\times
\bigg[\frac1{N}\exp(N\theta)-\theta\bigg]_0^{\theta}
\nonumber\\
&=&NC_{A,\,0}\exp(-N\theta)\times
\left\{\frac1{N}\exp(N\theta)-\theta-\frac1{N}\right\}\nonumber\\
&=&C_{A,\,0}-C_{A,\,0}\exp(-N\theta)\left(1+N\theta\right) \cdots\cdots\maru{1}
\end{eqnarray}
である。
\item
(3) $i=3$のとき、与えられた漸化式より
\begin{eqnarray}
C_{A,\,3}(\theta)
&=&N\exp(-N\theta)\times\int_0^{\theta}C_{A,2}\exp(N\theta)d\theta
\nonumber
\end{eqnarray}
である。ここで、式\maru{1}を変形すると、
\begin{eqnarray}
C_{A,\,2}(\theta)
&=&C_{A,\,0}-C_{A,\,0}\exp(-N\theta)\left(1+N\theta\right)\nonumber\\
&=&C_{A,\,0}\left\{1-\exp(-N\theta)\right\}(1+N\theta)\nonumber\\
&=&C_{A,\,0}\left\{1-\exp(-N\theta)\right\}-C_{A,0}N\theta\exp(-N\theta)
\nonumber\\
&=&C_{A,\,1}-C_{A,\,0}N\theta\exp(-N\theta)
\end{eqnarray}
と表すことができる。したがって、
\begin{eqnarray}
C_{A,\,3}(\theta)
&=&N\exp(-N\theta)\times\int_0^{\theta}
\left\{C_{A,\,1}-C_{A,\,0}N\theta\exp(-N\theta)\right\}\exp(N\theta)d\theta
\nonumber\\
&=&N\exp(-N\theta)\times\int_0^{\theta}
C_{A,\,1}\exp(N\theta)d\theta
-C_{A,\,0}N^2\exp(-N\theta)\times\int_0^{\theta}\theta d\theta\nonumber
\end{eqnarray}
である。ここで、第1項は$C_{A,\,2}$と一致するから、(2)の結果より
\begin{eqnarray}
C_{A,\,3}(\theta)
&=&C_{A,\,0}-C_{A,\,0}\exp(-N\theta)\left(1+N\theta\right)
-C_{A,\,0}N^2\exp(-N\theta)\bigg[\frac{\theta^2}{2}\bigg]_0^{\theta}
\nonumber\\
&=&C_{A,\,0}-C_{A,\,0}\exp(-N\theta)\left(1+N\theta\right)
-C_{A,\,0}\exp(-N\theta)\frac{(N\theta)^2}{2}
\nonumber\\
&=&C_{A,\,0}-C_{A,\,0}\exp(-N\theta)
\left\{1+N\theta+\frac12(N\theta)^2\right\}
\end{eqnarray}
となる。
%\end{enumerate}
\end{enumerate}
\noindent
【注意】
以上のことから、数学的帰納法により、
$N$段目では次式となることが分かる.
\begin{eqnarray*}
C_{A,\,N}(\theta)
&=&C_{A,\,0}-C_{A,\,0}\exp(-N\theta)\left\{1+N\theta+\frac1{2!}(N\theta)^2
+\cdots+\frac1{(N-1)!}(N\theta)^{N-1}\right\}\\
&=&C_{A,\,0}
-C_{A,\,0}\exp(-N\theta)\sum_{i=1}^{N}\frac{(N\theta)^{i-1}}{(i-1)!}
\end{eqnarray*}