例題集

多段CSTRの満たす微分方程式の解

知識・記憶レベル   難易度: ★★
 $N$個のCSTRを直列に配置し、初めに水を満たした状態から、 ある時間に1段目の入り口から$C_{A,\,0}$のモル濃度を持つ溶液を 連続的に供給させると、 $i$段目のモル濃度$C_{A,\,i}$は、 $\theta$を無次元時間とするとき、 \[C_{A,\, i}(\theta)=N\exp(-N\theta)\times \int_0^{\theta}C_{A,\, i-1}\exp(N\theta)d\theta  (i\ge 1)\] と表される。 $i=1,2,3$ のときの解を求めよ。
{\bf 解答} \begin{enumerate} \item (1) $i=1$のとき、 \[C_{A,\, 1}(\theta)=N\exp(-N\theta)\times \int_0^{\theta}C_{\,A,\, 0}\exp(N\theta)d\theta\] である。$C_{A,\,0}$は定数であるから、 \begin{eqnarray*} C_{A,\, 1}(\theta) &=&NC_{A,\,0}\exp(-N\theta) \times\int_{0}^{\theta}\exp(N\theta)d\theta \nonumber\\ &=&NC_{A,\, 0}\exp(-N\theta)\times \bigg[\frac1{N}\exp(N\theta)\bigg]_0^{\theta}\nonumber\\ &=&C_{A,\, 0}\exp(-N\theta)\times\left\{\exp(N\theta)-1\right\} \nonumber\\ &=&C_{A,\, 0}-C_{A,\, 0}\exp(-N\theta) \end{eqnarray*} である。 \item (2) $i=2$のとき、与えられた漸化式より \begin{eqnarray} C_{A,\,2}(\theta) &=&N\exp(-N\theta)\times\int_0^{\theta}C_{A,\,1}\exp(N\theta)d\theta \nonumber \end{eqnarray} である。(1)の結果を利用する。 $\exp(-N\theta)\exp(N\theta)=\exp(0)=1$であるから \begin{eqnarray} C_{A,\,2}(\theta) &=&N\exp(-N\theta)\times\int_0^{\theta} \left\{C_{A,\,0}-C_{A,\,0}\exp(-N\theta)\right\}\exp(N\theta)d\theta \nonumber\\ &=&NC_{A,\,0}\exp(-N\theta)\times\int_0^{\theta} \left\{\exp(N\theta)-1\right\}d\theta\nonumber\\ &=&NC_{A,\,0}\exp(-N\theta)\times \bigg[\frac1{N}\exp(N\theta)-\theta\bigg]_0^{\theta} \nonumber\\ &=&NC_{A,\,0}\exp(-N\theta)\times \left\{\frac1{N}\exp(N\theta)-\theta-\frac1{N}\right\}\nonumber\\ &=&C_{A,\,0}-C_{A,\,0}\exp(-N\theta)\left(1+N\theta\right)  \cdots\cdots\maru{1} \end{eqnarray} である。 \item (3) $i=3$のとき、与えられた漸化式より \begin{eqnarray} C_{A,\,3}(\theta) &=&N\exp(-N\theta)\times\int_0^{\theta}C_{A,2}\exp(N\theta)d\theta \nonumber \end{eqnarray} である。ここで、式\maru{1}を変形すると、 \begin{eqnarray} C_{A,\,2}(\theta) &=&C_{A,\,0}-C_{A,\,0}\exp(-N\theta)\left(1+N\theta\right)\nonumber\\ &=&C_{A,\,0}\left\{1-\exp(-N\theta)\right\}(1+N\theta)\nonumber\\ &=&C_{A,\,0}\left\{1-\exp(-N\theta)\right\}-C_{A,0}N\theta\exp(-N\theta) \nonumber\\ &=&C_{A,\,1}-C_{A,\,0}N\theta\exp(-N\theta) \end{eqnarray} と表すことができる。したがって、 \begin{eqnarray} C_{A,\,3}(\theta) &=&N\exp(-N\theta)\times\int_0^{\theta} \left\{C_{A,\,1}-C_{A,\,0}N\theta\exp(-N\theta)\right\}\exp(N\theta)d\theta \nonumber\\ &=&N\exp(-N\theta)\times\int_0^{\theta} C_{A,\,1}\exp(N\theta)d\theta -C_{A,\,0}N^2\exp(-N\theta)\times\int_0^{\theta}\theta d\theta\nonumber \end{eqnarray} である。ここで、第1項は$C_{A,\,2}$と一致するから、(2)の結果より \begin{eqnarray} C_{A,\,3}(\theta) &=&C_{A,\,0}-C_{A,\,0}\exp(-N\theta)\left(1+N\theta\right) -C_{A,\,0}N^2\exp(-N\theta)\bigg[\frac{\theta^2}{2}\bigg]_0^{\theta} \nonumber\\ &=&C_{A,\,0}-C_{A,\,0}\exp(-N\theta)\left(1+N\theta\right) -C_{A,\,0}\exp(-N\theta)\frac{(N\theta)^2}{2} \nonumber\\ &=&C_{A,\,0}-C_{A,\,0}\exp(-N\theta) \left\{1+N\theta+\frac12(N\theta)^2\right\} \end{eqnarray} となる。 %\end{enumerate} \end{enumerate} \noindent 【注意】  以上のことから、数学的帰納法により、 $N$段目では次式となることが分かる. \begin{eqnarray*} C_{A,\,N}(\theta) &=&C_{A,\,0}-C_{A,\,0}\exp(-N\theta)\left\{1+N\theta+\frac1{2!}(N\theta)^2 +\cdots+\frac1{(N-1)!}(N\theta)^{N-1}\right\}\\ &=&C_{A,\,0} -C_{A,\,0}\exp(-N\theta)\sum_{i=1}^{N}\frac{(N\theta)^{i-1}}{(i-1)!} \end{eqnarray*}