{\bf 方針} \begin{enumerate} \item (1) 増減は、$F'(\theta)=0$となる$\theta$の値を求めて、 その前後での$F'(\theta)$の符号を調べる。 $F'(\theta)>0$であれば増加、$F'(\theta)<0$であれば減少である。 \item (2) 凹凸は、$F''(\theta)=0$となる$\theta$の値を求めて、 その前後での$F'(\theta)$の符号を調べる。 $F''(\theta)>0$であれば下に凸、$F''(\theta)<0$であれば上に凸である。 \end{enumerate} {\bf 解答} \begin{align*} F(\theta) &=1-\exp(-N\theta)\left\{1+N\theta+\frac{(N\theta)^2}{2!} +\frac{(N\theta)^{3}}{3!} +\cdots+\frac{(N\theta)^{N-1}}{(N-1)!}\right\}\\ F'(\theta) &=N\exp(-N\theta)\left\{1+N\theta+\frac{(N\theta)^2}{2!} +\frac{(N\theta)^{3}}{3!}+\cdots +\frac{(N\theta)^{N-1}}{(N-1)!}\right\}\\ &　 -\exp(-N\theta)\left\{N+\frac{2\cdot N\theta\cdot N}{2!} +\frac{3\cdot(N\theta)^2\cdot N}{3!}+\cdots+ \frac{(N-1)\cdot(N\theta)^{N-2}\cdot N}{(N-1)!}\right\}\\ &=N\exp(-N\theta)\left\{1+N\theta+\frac{(N\theta)^2}{2!} +\cdots+\frac{(N\theta)^{N-1}}{(N-1)!}\right\}\\ &　 -N\exp(-N\theta)\left\{1+N\theta+\frac{(N\theta)^2}{2!}+\cdots+ \frac{(N\theta)^{N-2}}{(N-2)!}\right\}\\ &=N\exp(-N\theta)\frac{(N\theta)^{N-1}}{(N-1)!}\qquad (N\ge 1) \\ F''(\theta) &=-N^2\exp(-N\theta)\frac{(N\theta)^{N-1}}{(N-1)!} +N\exp(-N\theta)\frac{(N-1)\cdot(N\theta)^{N-2}\cdot N}{(N-1)!}\\ &=-N^2\exp(-N\theta)\left\{\frac{(N\theta)^{N-1}}{(N-1)!} -\frac{(N\theta)^{N-2}}{(N-2)!}\right\}\\ &=-N^2\exp(-N\theta)\frac{(N\theta)^{N-2}}{(N-1)!} \left\{N\theta-(N-1)\right\}\\ &=-N^3\exp(-N\theta)\frac{(N\theta)^{N-2}}{(N-1)!} \left(\theta-\frac{N-1}{N}\right)\qquad (N\ge 2) \end{align*} である。 　以上のことをもとに、$N=1,2,3$の場合の増減表を作ると、 次のようになる。 　$N=1$のとき、$F(\theta)=1-\exp(-\theta)$であるから、 これは$\exp(-\theta)$のグラフを$\theta$軸に関して対称移動して、 縦軸方向に$1$だけ平行移動したものである． \[F'(\theta)=\exp(-\theta)>0\qquad F''(\theta)=-\exp(-\theta)<0\] であるから、$F(\theta)$は単調増加であり、グラフは上に凸である。 変曲点は持たない。 　$N=2$のとき、 $F(\theta)=1-\exp(-2\theta)\cdot\left(1+2\theta\right)$ である。 \begin{align*} F'(\theta) &=2\exp(-2\theta)\cdot 2\theta=4\exp(-2\theta)\cdot \theta\\ F''(\theta) &=-2^3\exp(-2\theta)\frac{(2\theta)^0}{1!}\left(\theta-\frac12\right) =-8\exp(-2\theta)\left(\theta-\frac12\right) \end{align*} となり、増減表は下記のようになる． $\theta=\frac12$のときに変曲点を持つ． 　$N=3$のとき、 $F(\theta)=1-\exp(-3\theta)\cdot\left(1+3\theta+\frac{9\theta^2}{2}\right)$ である。 \begin{align*} F'(\theta) &=3\exp(-3\theta)\frac{(3\theta)^2}{2!} =\frac{27}{2}\exp(-3\theta)\cdot\theta^2\\ F''(\theta) &=-27\exp(-3\theta)\frac{3\theta}{2}\left(\theta-\frac23\right) =-\frac{81}{2} \exp(-3\theta)\cdot\theta\left(\theta-\frac23\right) \end{align*} となり、増減表は下記のようになる． $\theta=\frac23$のときに変曲点を持つ． 下の図は、上から順に$N=1,2,3,5,10$のグラフである． 変曲点を「$\cdot$」で示した。$N$が大きくなるにつれ、 変曲点の$\theta$座標は$\theta=1$に近づいて行くことが分かる。また、 $\theta>1$の箇所でグラフの上下が入れ替わっており、 $N$が大きくなるにつれ$S$字状の曲線(シグモイド曲線)に 近づいていくことが分かる。 %=image:/media/2014/08/26/140898373174738300.jpg:$N=2$ のときの増減表 %=image:/media/2014/08/26/140898373174813000.jpg:$N=3$ のときの増減表 %=image:/media/2014/08/26/140898373174943800.jpg:$N=1,2,3,5,10$ のときのグラフ