理解レベル
難易度: ★★
図に示すように，壁面に沿う流れの速度分布$u$が次の放物形で与えられているものとする．
\[
u(y)=U\left\{ 2\frac{y}{h}-\left( \frac{y}{h} \right)^2 \right\}
\ \ \ \ \ \ \
0 \leq y \leq h
\]
ここで，$y$は壁面からの位置座標であり，$y=h$における最大速度を$U$とする．
次の問いに答えよ．
%=image:/media/2015/01/15/142125762001189900.png:
$(1)$
流れの速度勾配$\frac{du}{dy}$を求めよ．
$(2)$
流体の粘性係数を$\mu=0.9\times 10^{-3}\,\rm{Pa\cdot s}$，最大速度を$U=3\,\rm{m/s}$，$h=5\,\rm{cm}$とするとき，$y=0.5\,\rm{cm}$の位置におけるせん断応力$\tau$を求めよ．
$(1)$
\[\begin{align}
\frac{du}{dy}
&=U \left( \frac{2}{h} - 2\frac{y}{h^2} \right)\\
&=\frac{2U}{h}\left( 1- \frac{y}{h} \right)
\end{align}\]
$(2)$
\[\begin{align}
\tau = \mu\frac{du}{dy}
&=0.9 \times 10^{-3} \times \frac{2 \times 3}{5 \times 10^{-2}}\left( 1-\frac{0.5 \times 10^{-2}}{5 \times 10^{-2}} \right) \\
&=0.0972 \,\rm{Pa}
\end{align}\]
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