例題集

流体の性質(12) 表面張力と毛細管現象

適用レベル   難易度: ★★★
図に示すように,内径$d_1$の円筒(シリンダ)の内部に外径$d_2$の円柱(ピストン)が収められており,その下端部分が密度$\rho$の液中に立てられている. 液はシリンダとピストンの隙間を毛細管現象によって這い上がり,高さ$h$のところで静止している. ピストン外壁ならびにシリンダ内壁と,この液体との接触角を一様に$\theta$,この液体の雰囲気ガスに対する表面張力を$\sigma$,重力加速度を$g$としたとき,次の問いに答えよ. %=image:/media/2015/01/15/142125776887235100.png: $(1)$ シリンダとピストンの隙間を這い上がった液面と,シリンダ$\cdot$ピストンの両壁面をの交線に沿って働く表面張力による力$F$を数式で示せ. $(2)$ 表面張力による力$F$の鉛直方向成分$F_y$を数式で示せ. $(3)$ 隙間を這い上がる高さ$h$の液に働く重力$W$を数式で示せ. $(4)$ 鉛直方向の力のつり合い式を立てよ. $(5)$ 液が這い上がる高さ$h$を数式で示せ.
$(1)$ (表面張力による力)=(表面張力)×(界線の長さ)だから, \[ F= \sigma (\pi d_1 + \pi d_2) = \pi \sigma(d_1 + d_2) \] $(2)$ $F$の鉛直方向成分は$F\cos\theta$だから, \[ F_y = \pi \sigma (d_1 + d_2)\cos\theta \] $(3)$ 重力$W=mg=\rho Vg$だから, \[ W=\rho\frac{\pi}{4}\left(d_1^2- d_2^2\right)h \] $(4)$ 鉛直方向の力のつり合い式より, \[ F_y= W\\\pi \sigma \left( d_1 + d_2 \right)\cos\theta = \frac{\pi}{4}\rho \left( d_1 - d_2 \right)\left(d_1 + d_2 \right)hg\\ \sigma \cdot \cos\theta = \frac{\rho}{4}\left(d_1 - d_2 \right)hg \] $(5)$ 力のつり合い式を整理して, \[ h = \frac{4\sigma \cdot \cos \theta}{\rho\left(d_1 - d_2 \right)g} \]