左図の検査容積を参照して,断面図①から時間$dt$で流入する流量$m_1$は,
\[
m_1=\dot{m}dt=\rho AVdt \ \ \ \cdots(1)'
\]
一方,断面②から流出する流量$m_2$は,
\[
m_2=m_1+\frac{\partial m_1}{\partial s}ds = \rho AVdt+\frac{\partial (\rho AV dt)}{\partial s}ds \ \ \ \cdots(2)'
\]
時刻$t$における検査容積内の質量を$\rho Ads$としたとき,時刻$t+dt$における質量は
\[
\rho Ads+\frac{\partial (\rho A ds)}{\partial t}dt
\]
であるので,
時間$dt$に対する検査容積への質量の蓄積量$dm$は,
\[\begin{align}
dm
&=\rho Ads+\frac{\partial (\rho Ads)}{\partial t}dt-\rho Ads\\
&=\frac{\partial (\rho Ads)}{\partial t}dt \ \ \ \cdots(3)'
\end{align}\]
質量保存則より,(流入する量)$-$(流出する量)$=$(蓄積量)であるから,式$(1)'$,$(2)'$,$(3)'$より,
\[
\rho AVds-\left(\rho AVds + \frac{\partial (\rho AVdt)}{\partial s} ds\right)=\frac{\partial (\rho Ads)}{\partial t} dt\\
\frac{\partial (\rho Ads)}{\partial t} dt+\frac{\partial (\rho AVdt)}{\partial s} ds=0\\
\therefore
\frac{\partial (\rho A)}{\partial t}+\frac{\partial (\rho AV)}{\partial s}=0
\ \ \ (一次元の連続の式)
\]
特に定常流では,
\[
\frac{\partial (\rho A)}{\partial t}=0 \ だから,\\
\frac{\partial (\rho AV)}{\partial s}=0
\]
両辺を$s$で積分して,
\[
\rho AV=C \ \ \ (連続の式)
\]
さらに非圧縮性流体では,$\rho=$一定であるから,
\[
AV=C
\]
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