左図の検査容積を参照して，断面図①から時間$dt$で流入する流量$m_1$は， \[ m_1=\dot{m}dt=\rho AVdt \ \ \ \cdots(1)' \] 一方，断面②から流出する流量$m_2$は， \[ m_2=m_1+\frac{\partial m_1}{\partial s}ds = \rho AVdt+\frac{\partial (\rho AV dt)}{\partial s}ds \ \ \ \cdots(2)' \] 時刻$t$における検査容積内の質量を$\rho Ads$としたとき，時刻$t+dt$における質量は \[ \rho Ads+\frac{\partial (\rho A ds)}{\partial t}dt \] であるので， 時間$dt$に対する検査容積への質量の蓄積量$dm$は， \[\begin{align} dm &=\rho Ads+\frac{\partial (\rho Ads)}{\partial t}dt-\rho Ads\\ &=\frac{\partial (\rho Ads)}{\partial t}dt \ \ \ \cdots(3)' \end{align}\] 質量保存則より，(流入する量)$-$(流出する量)$=$(蓄積量)であるから，式$(1)'$，$(2)'$，$(3)'$より， \[ \rho AVds-\left(\rho AVds + \frac{\partial (\rho AVdt)}{\partial s} ds\right)=\frac{\partial (\rho Ads)}{\partial t} dt\\ \frac{\partial (\rho Ads)}{\partial t} dt+\frac{\partial (\rho AVdt)}{\partial s} ds=0\\ \therefore \frac{\partial (\rho A)}{\partial t}+\frac{\partial (\rho AV)}{\partial s}=0 \ \ \ (一次元の連続の式) \] 特に定常流では， \[ \frac{\partial (\rho A)}{\partial t}=0 \ だから，\\ \frac{\partial (\rho AV)}{\partial s}=0 \] 両辺を$s$で積分して， \[ \rho AV=C \ \ \ (連続の式) \] さらに非圧縮性流体では，$\rho=$一定であるから， \[ AV=C \] %=image:/media/2015/01/15/142125875516650300.png: