$(1)$ 流体要素に働く流線方向の全圧力$fp$は，断面①に働く全圧力と断面②に働く全圧力の和として求まる．(偏導関数とテーラー展開) \[\begin{align} f_p &=pA+\left\{-\left(p+\frac{\partial p}{\partial s} ds \right)A \right\}\\ &=-A\frac{\partial p}{\partial s} ds \end{align}\] 一方，流体要素に働く重力$mg=\rho gAds$の流線方向成分$f_w$は三角関数より次のように求まる． \[\begin{align} f_w &=-\rho g Ads \cdot \sin\theta\\ &=-\rho gAds\cdot\frac{\partial z}{\partial s} \end{align}\] したがって，流線方向の外力$F$は， \[\begin{align} F &=f_p+f_w\\ &=-A\frac{\partial p}{\partial s}ds-\rho gAds\cdot\frac{\partial z}{\partial s} \ \ \cdots(1)' \end{align}\] $(2)$ 加速度$a$の定義より， \[\begin{align} a &=\frac{dV(s,t)}{dt}\\ &=\frac{\partial V}{\partial s}\cdot\frac{\partial s}{\partial t}+\frac{\partial V}{\partial t}\hspace{10mm} \left(合成関数の偏微分\right)\\ \\ &=V\frac{\partial V}{\partial s}+\frac{\partial V}{\partial t} \hspace{10mm} \left( \therefore V=\frac{ds}{dt} \ 速度の定義\right) \\ &=\frac{1}{2}\cdot \frac{\partial \left(V^2\right)}{\partial s}+\frac{\partial V}{\partial t} \ \ \cdots(2)' \hspace{10mm} \left(\therefore \frac{\partial \left(V^2\right)}{\partial s}=2V\frac{\partial V}{\partial s} \ 合成関数の微分\right) \end{align} \] ニュートンの運動方程式より， \[ a=\frac{F}{m} \] 上式に式$(1)'$，式$(2)'$を代入し，$m=\rho Ads$として， \[ \frac{1}{2}\cdot \frac{\partial \left(V^2\right)}{\partial s}+\frac{\partial V}{\partial t}=\frac{-A\frac{\partial p}{\partial s}ds-\rho Ads\frac{\partial z}{\partial s}}{\rho Ads} \] 整理してオイラーの運動方程式が求まる． \[ \frac{1}{\rho}\cdot\frac{\partial \left(V^2 \right)}{\partial s}+\frac{1}{2}\cdot \frac{\partial \left(V^2\right)}{\partial s}+\frac{\partial V}{\partial t}+g\frac{\partial z}{\partial s}=0 \] $(3)$ 定常流れを仮定すると， \[\frac{\partial V}{\partial t}=0 ，および\frac{\partial p}{\partial t}=0，\frac{\partial z}{\partial t}=0 \] である． 非圧縮性流体であることから$\rho=$一定として，オイラーの運動方程式の両辺を変数$s$で積分して， \[ \frac{1}{\rho}\int\frac{\partial p}{\partial s}ds+\frac{1}{2}\int\frac{\partial \left(V^2\right)}{\partial s}ds+g\int\frac{\partial z}{\partial s}=\int 0ds\\ \frac{1}{\rho}\int dp+\frac{1}{2}\int d\left(V^2\right)+g\int dz=C \hspace{10mm} \left(Cは積分定数\right) \] 最終的にベルヌーイの定理を得る． \[ \frac{p}{\rho}+\frac{V^2}{2}+gz=C \]