\noindent{\bf 方針} \begin{enumerate} \item 管型反応器では、各場所では時間的に濃度は変化しないので 定常状態である。 \item モル流量$F_{A}$は、反応器体積$V$の関数とみれる。 \item $F_{A}(V)$に関して、1次近似式 $\displaystyle F_{A}(V+\varDelta V)\doteqdot F_{A}(V)+\frac{dF_{A}}{dV}\varDelta V$ が成り立つ。 \item Aの反応率$x_{A}$は、$\displaystyle x_{A}=\frac{F_{A 0}-F_{A}}{F_{A 0}}$により 定義される。 \end{enumerate} \noindent {\bf 解答} 微小部分$\varDelta V$では$(流入量)=(流出量)+(反応量)$である。 流入量は$F_{A}(V)$、流出量は$F_{A}(V+\varDelta V)$、 そして反応量は$(-r_{A})\varDelta V$であり、$F_{A}$の1次近似式 \[F_{A}(V+\varDelta V)\doteqdot F_{A}(V)+\frac{dF_{A}}{dV}\varDelta V\] を利用すると、微小部分では \[ F_{A}(V)=\left\{F_{A}(V)+\frac{dF_{A}}{dV}\varDelta V\right\} +(-r_{A})\varDelta V \] が成り立つ．したがって、 \begin{equation} \frac{dF_{A}}{dV}=r_{A} \end{equation} である．ここで、反応率$x_{A}$の定義から $$x_{A}=\frac{F_{A 0}-F_{A}}{F_{A 0}} \qquad よって\qquad F_{A}=F_{A 0}(1-x_{A})$$ であるから、 $$\frac{dF_{A}}{dV}=-F_{A 0}\frac{dx_{A}}{dV}$$ である。したがって、 \begin{align*} -F_{A 0}\frac{dx_{A}}{dV}=r_{A} \qquad すなわち\qquad \frac{dV}{F_{A 0}}=\frac{dx_{A}}{-r_{A}} \end{align*} が得られる。