\noindent {\bf 方針} \begin{enumerate} \item 置換積分の公式 $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}F(x(t))\cdot\frac{dx}{dt}\cdot dt =\int_{a}^{b}F(x)\,dx$ $(x(\alpha)=a,\,x(\beta)=b)$ \item 流量速度が$v_0$、モル濃度$C_{A}$のとき、 モル流量$F_{A}$は、$F_{A}=v_0C_{A}$である。 \end{enumerate} {\bf 解答} 物質収支式が \[\frac{dV}{F_{A 0}}=\frac{dx_{A}}{-r_{A}}\] であるから、 \[\frac1{F_{A 0}}\cdot dV =\frac1{-r_{A}}\cdot \frac{dx_{A}}{dV}\cdot dV\] である。両辺を$V$で積分すると、置換積分の公式より \[\frac1{F_{A 0}}\int_{0}^{V}\,dV =\int_{0}^{V}\frac1{-r_{A}}\cdot \frac{dx_{A}}{dV}\cdot dV =\int_{0}^{x_{A}}\frac1{-r_{A}}\cdot dx_{A}\] である。したがって、 \[\frac{V}{F_{A 0}}=\int_{0}^{x_{A}}\frac{dx_{A}}{-r_{A}}\] が成り立つ。 流量速度$v_0$は単位時間当たりに流れる液体の体積であり、 $F_{A 0}=v_0 C_{A 0}$であるから、 \[ \frac{V}{v_0}=C_{A 0}\int_{0}^{x_{A}}\frac{dx_{A}}{-r_{A}} \] となる．これが、求める設計方程式である．