% 2つの変数の値の組 $(x,y)$ に対して, 実数 $z$ をただ1つ対応させる規則があるとき, $z$ は $x$, $y$ の\ommindex{2変数関数}{にへんすうかんすう}であるといい, $z=f(x,y)$ と表す。 $(x,y)$ を $xy$ 平面上の点と考えるとき, 点 $(x,y)$ が動く平面上の領域を $z=f(x,y)$ の \ommindex{定義域}{ていぎいき}, $z$ がとる値の範囲を\ommindex{値域}{ちいき}という。 点 $(x,y)$ が $(a,b)$ と異なる点を取りながら 点 $(a,b)$ に限りなく近づくことを % \begin{align*} (x,y)\to (a,b) \end{align*} % と表す。 $(x,y)\to (a,b)$ のとき, その近づき方によらず, $f(x,y)$ の値が限りなく定数 $\alpha$ に近づくとき, $f(x,y)$ は $\alpha$ に\ommindex{収束}{しゅうそく}するといい % \begin{align*} f(x,y)\to \alpha \quad \mbox{または}\quad \lim_{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)=\alpha \end{align*} % と表す。 とくに, % \begin{align*} \lim_{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)=f(a,b) \end{align*} % であるとき, 関数 $z=f(x,y)$ は点 $(a,b)$ で\ommindex{連続}{れんぞく}であるという。 関数 $z=f(x,y)$ が定義域に含まれるある領域 $D$ の各点で連続であるとき, 関数 $z=f(x,y)$ は領域 D で連続であるという。 $(x,y)\to (a,b)$ のとき, $f(x,y)$ が一定の値に近づかないとき, $f(x,y)$ は\ommindex{発散}{はっさん}するという。 収束, 発散の状態を2変数関数の\ommindex{極限}{きょくげん}という。 %

% 2変数関数 $z=f(x,y)$ について, 極限値 % \begin{align*} \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h} \end{align*} % が存在するとき, $z=f(x,y)$ は $x$ について \ommindex{偏微分可能}{へんびぶんかのう}であるという。 $z=f(x,y)$ $x$ についてが偏微分可能であるとき, この極限値として得られる関数を, $z=f(x,y)$ の $x$ についての \ommindex{偏導関数}{へんどうかんすう}といい % \begin{align*} f_{x}(x,y), \quad \frac{\partial f}{\partial x} \end{align*} % などと表す。 また, 極限値 % \begin{align*} \lim_{k\to 0}\frac{f(x,y+k)-f(x,y)}{h} \end{align*} % が存在するとき, $z=f(x,y)$ は $x$ について \ommindex{偏微分可能}{へんびぶんかのう}であるといい, 極限値として得られる関数を, $z=f(x,y)$ の $y$ についての \ommindex{偏導関数}{へんどうかんすう}といい % \begin{align*} f_{y}(x,y), \quad \frac{\partial f}{\partial y} \end{align*} % などと表す。 偏導関数を求めることを\ommindex{偏微分}{へんびぶん}するという。 偏導関数がまた偏微分可能であるとき, 偏導関数を偏微分して得られる関数を \ommindex{2階偏導関数}{にかいへんどうかんすう}という。 $z=f(x,y)$ を $x$ について2回偏微分して得られる関数を % \begin{align*} f_{xx}(x,y), \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \end{align*} % と表す。 $x$ について2回偏微分して得られる関数も同様に表す。 $x$ についての偏導関数を $y$ について偏微分して得られる関数は % \begin{align*} f_{xy}(x,y), \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} \end{align*} % と表す。 2回以上偏微分して得られる関数を \ommindex{高階偏導関数}{こうかいへんどうかんすう}という。 $z=f(x,y)$ が2回偏微分可能で, $f_{xy}(x,y)$, $f_{yx}(x,y)$ がともに連続であるとき, $z=f(x,y)$ は\ommindex{連続微分可能}であるという。 $z=f(x,y)$ が連続微分可能であるとき, % \begin{align*} f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y) \end{align*} % が成り立つ。 同様に, $z=f(x,y)$ が何回でも偏微分可能で, その偏導関数がすべて連続であるならば, 偏導関数は微分する変数の順序によらない。 %

以下の公式を, 2変数関数の \ommindex{合成関数の微分法}{ごうせいかんすうのびぶんほう}という。 % % \begin{enumerate} \item[(1)] $x$, $y$ が $t$ の関数であるとき, $z=f(x,y)$ も $t$ の関数である。 $x$, $y$ が微分可能であり, $z=f(x,y)$ が偏微分可能であるとき, % \begin{align*} \frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt} \end{align*} % が成り立つ。 \item[(2)] $x$, $y$ が $u$, $v$ の関数であるとき, $z=f(x,y)$ も $u$, $v$ の関数である。 $x$, $y$ が偏微分可能であり, $z=f(x,y)$ が偏微分可能であるとき, % \begin{align*} \frac{\partial z}{\partial u} &= \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u} \\ \frac{\partial z}{\partial v} &= \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v} \end{align*} % が成り立つ。 \end{enumerate} %

% $z=f(x,y)$ が $x$ について偏微分可能であるとき, $x$ についての偏導関数の点 $(a,b)$ における値を, 点 $(a,b)$ における $x$ についての \ommindex{偏微分係数}{へんびぶんけいすう}といい, % \begin{align*} f_{x}(a,b), \quad \left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(a,b)} \end{align*} % と表す。 $xy$ 平面上の点 $(a,b)$ を通る直線 % \begin{align*} \ell\,:\, \left\{\begin{array}{l} x=a+ht \\ y=b+kt \end{array}\right. \quad (k^2+l^2=1) \end{align*} % に対して, 変数を $t$ とする関数 % \begin{align*} z=f(a+ht,b+kt) \end{align*} % のグラフは, 直線 $\ell$ を通り $xy$ 平面に垂直な平面による, 曲面 $z=f(x,y)$ の断面に現れる曲線である。 これを $z=f(x,y)$ の\ommindex{断面曲線}{だんめんきょくせん}という。 断面曲線の $t=0$ における微分係数は, 合成関数の導関数の公式によって % \begin{align*} \left.\frac{dz}{dt}\right|_{t=0} = hf_{x}(a,b)+kf_{y}(a,b) \end{align*} % となる。 とくに, $k=1$, $l=0$ のときには $x$ についての偏微分係数 $f_{x}(a,b)$, $k=0$, $l=1$ のときには $y$ についての偏微分係数 $f_{y}(a,b)$ である。 %

% 偏微分可能な関数 $z=f(x,y)$ に対して, % \begin{align*} dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy \end{align*} % を\ommindex{全微分}{ぜんびぶん}という。 %

関数 $z=f(x,y)$ について, % \begin{align*} f(x,y)=f(a,b)+f_{x}(a,b)(x-a)+f_{y}(a,b)(y-b)+\varepsilon \end{align*} % とおくとき, % \begin{align*} \lim_{(x,y)\to (a,b)} \frac{\varepsilon}{\sqrt{a^2+b^2}} = 0 \end{align*} % であるとき, 点 $(a,b)$ のまわりで \ommindex{全微分可能}{ぜんびぶんかのう}であるという。 連続微分可能な関数は全微分可能である。 全微分可能な関数は, \ommindex{1次近似}{いちじきんじ}することができる。 すなわち, % \begin{align*} f(a+h,y+k) \approx f(a,b)+hf_{x}(a,b)+kf_{y}(a,b) \end{align*} % が成り立つ。 %

% 全微分可能な関数 $z=f(x,y)$ に対して, 点 $(a,b,f(a,b))$ を通る平面 % \begin{align*} z=f(a,b)+f_{x}(a,b)(x-a)+f_{y}(a,b)(y-b) \end{align*} % を, 点 $(a,b)$ における $z=f(x,y)$ の \ommindex{接平面}{せつへいめん}という %

% $xy$ 平面上の曲線 $f(x,y)=0$ 上の点 $(a,b)$ に対して, $x=a$ を含む開区間で定義された関数 $y=\varphi(x)$ が, % \begin{align*} f(x,\varphi(x))=0 \end{align*} % とき, この関数を $f(x,y)=0$ から定まる\ommindex{陰関数}{いんかんすう}という。 $f_{y}(a,b)\ne 0$ であるとき % \begin{align*} \varphi'(a)=-\frac{f_{x}(a,b)}{f_{y}(a,b)} \end{align*} % が成り立つ。 これを\ommindex{陰関数の微分法}{いんかんすうのびぶんほう}という。 %