{\bf 【方針】} \item 与えられた式 (1), (2) と導く式(3)を見比べて, 必要な文字と消去する文字を考える. \item {(1), (2)} から $q+U_1-U_2$ を消去すると, $p_2 v_2-p_1v_1\displaystyle\int_{v_1}^{v_2}p\,dv=\displaystyle\int_{p_1}^{p_2}v\,dp$ となることを示せばよいことが分かる. \item 全微分と定積分を用いて, $p_2v_2-p_1v_1=\displaystyle\int_{v_1}^{v_2}p\,dv+\displaystyle\int_{p_1}^{p_2}v\,dp$ となることを示す. \bigskip {\bf 【解答】} (1) より, $$gh_1+\displaystyle\frac{u_1^2}{2}+W=gh_2+\displaystyle\frac{u_2^2}{2}+p_2 v_2-p_1v_1+U_2-U_1-q\quad\cdots\quad(4)$$ となる. 一方, (2) より, $$U_2-U_1-q=F-\int_{v_1}^{v_2}p\,dv\quad\cdots\quad(5)$$ となるので, (5)を(4) に代入して, $$gh_1+\displaystyle\frac{u_1^2}{2}+W=gh_2+\displaystyle\frac{u_2^2}{2}+p_2 v_2-p_1v_1-\int_{v_1}^{v_2}p\,dv+F$$ となる. したがって, $$p_2 v_2-p_1v_1-\int_{v_1}^{v_2}p\,dv=\displaystyle\int_{p_1}^{p_2}v\,dp\quad\cdots\quad(6)$$ であれば, $(3)$ が成り立つ. ここで, $z=pv$ を全微分すると, $$dz=\displaystyle\frac{\partial z}{\partial p}\,dp+\displaystyle\frac{\partial z}{\partial v}\,dv=v\,dp+p\,dv$$ となる. $p:\,p_1\mapsto p_2$ のとき，$v:\,v_1\mapsto v_2$ であり, $z:\,p_1v_1\mapsto p_2v_2$ であるので, この区間で $dz=v\,dp+p\,dv$ を定積分すると, $$\int_{p_1v_1}^{p_2v_2}\,dz=\int_{p_1}^{p_2}v\,dp+\int_{v_1}^{v_2}p\,dv$$ $$\Bigl[z\Bigr]_{p_1v_1}^{p_2v_2}=\int_{p_1}^{p_2}v\,dp+\int_{v_1}^{v_2}p\,dv$$ $${p_2v_2}-{p_1v_1}=\int_{p_1}^{p_2}v\,dp+\int_{v_1}^{v_2}p\,dv$$ $${p_2v_2}-{p_1v_1}-\int_{v_1}^{v_2}p\,dv=\int_{p_1}^{p_2}v\,dp$$ となる. 以上により, (6) が得られるので, 等式(3) が成り立つ. \bigskip 【注意】 \item $z=f(x,y)$ の全微分は $dz=\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\,dx+\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}\,dy$ である. \item $\displaystyle\int_a^b\,dx=\Bigl[x\Bigr]_a^b=b-a$ である. \item ここでは, 圧力$p$は比容積$v$の関数, 比容積$v$は圧力$p$の関数とみて定積分している.