\begin{enumerate}
\item
(1) 電流は
\begin{eqnarray}
I &=& \frac{E}{20+j40+R-jX_{C}}\nonumber\\
&=& \frac{E}{(20+R)+j(40-X_{C})}
\end{eqnarray}
となるので,消費電力は次のようになる。
\begin{eqnarray}
P &=& R|I|^{2}
= \underline{R\frac{|E|^{2}}{(20+R)^{2}+(40-X_{C})^{2}}}\nonumber\\
\end{eqnarray}
\item
(2) $P$ の分母を最小にするには,
\begin{eqnarray}
40-X_{C} = 0~~
\Rightarrow~~\underline{X_{C}=40}
\end{eqnarray}
となる。このとき
\begin{eqnarray}
P = \frac{R}{(20+R)^{2}}|E|^{2}
\end{eqnarray}
を最大にする $R$ を求める。
\begin{eqnarray}
\frac{\partial P}{\partial R} &=&
\frac{(20+R)^{2}-2R(20+R)}{(20+R)^{4}}|E|^{2}\nonumber\\
&=&
\frac{(20+R)(20+R-2R)}{(20+R)^{4}}|E|^{2}\nonumber\\
&=&
\frac{(20-R)}{(20+R)^{3}}|E|^{2}
\end{eqnarray}
よって,次のようになる。
\begin{eqnarray}
20-R= 0~~
\Rightarrow~~\underline{R=20}~\rm [\Omega]
\end{eqnarray}
\end{enumerate}