\begin{enumerate}
\item
(1) 分圧から$V_\mathrm {out}$ は
\begin{eqnarray}
V_\mathrm {out} = \frac{\frac{1}{j\omega C}}{R+\frac{1}{j\omega C}}V_\mathrm
{in}
= \frac{1}{1+ j\omega CR}V_\mathrm {in}
\end{eqnarray}
となるので，$G(\omega)$ は
\begin{eqnarray}
G(\omega) = \frac{V_\mathrm {out}}{V_\mathrm {in}} =\underline{ \frac{1}{1+ j\omega CR}}\end{eqnarray}
\item
(2) ゲインは，
\begin{eqnarray}
|G(\omega)| = \frac{1}{\sqrt{1+ (\omega CR)^{2}}}
\end{eqnarray}
より，$|G(\omega)|$ が最大になるには分母が小さくなればよいので，
\begin{eqnarray}
\underline{\omega_{0} = 0}
\end{eqnarray}
このとき，
\begin{eqnarray}
|G(\omega)|_\mathrm {MAX} = |G(\omega_{0})| = \frac{1}{\sqrt{1+ 0}} = \underline{~1~}
\end{eqnarray}
となる。
\item
(3) $|G(\omega)|=\frac{1}{\sqrt{2}}$ となるための条件は
\begin{eqnarray}
\omega CR = 1
\end{eqnarray}
である。よって，
\begin{eqnarray}
\omega = \frac{1}{CR}~~\Rightarrow~~C = \frac{1}{\omega R}
\end{eqnarray}
となればよい。$R=2\times 10^{3}$，$\omega = 2\pi\times 20\times 10^{3}$ を
代入すると
\begin{eqnarray}
C &=& \frac{1}{\omega R}
=\frac{1}{40\pi\times 10^{3}\times 2\times 10^{3}}
=\underline{\frac{1}{80\pi\times 10^{6}}} \nonumber\\
&=& 0.004\times 10^{-6} = \underline{4\times 10^{-9}~\mathrm {F}}
\end{eqnarray}
となる。
\end{enumerate}
