% 関数 $y=f(x)$ は閉区間 $[a,b]$ で連続であるとする。 区間 $[a,b]$ の分割 % \begin{align*} a=a_0<a_1<a_2<\cdots <a_n<b \end{align*} % と, $1$ から $n$ までの整数 $k$ に対して, $k$ 番目の小区間の幅と, その小区間に属する点を % \begin{align*} dx_k=a_{k}-a_{k-1}, \quad a_{k-1}<x_k<a_{k} \end{align*} % と定める。 このとき, 分割数 $n$ を限りなく大きくして, 各分割幅を限りなく小さくしたときの 極限値 % \begin{align*} \lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^{n}f(x_k)\,dx_k \end{align*} % を, 区間 $[a,b]$ における $f(x)$ の\ommindex{定積分}{ていせきぶん}といい, % \begin{align*} \int_{a}^{b}f(x)\,dx \end{align*} % と表す。 このとき, 区間 $[a,b]$ を\ommindex{積分区間}{せきぶんくかん}という。 さらに, $a\ge b$ のとき, % \begin{align*} & \int_{b}^{a}f(x)\,dx=-\int_{a}^{b}f(x)\,dx \end{align*} % と定める。 これによって, $a$, $b$ の大小に関わりなく, $x=a$ から $x=b$ までの定積分が定義される。 定積分を求めることを $x=a$ から $x=b$ まで \ommindex{積分}{せきぶん}するという。 %

% 関数 $f(x)$ が区間 $[a,b]$ で連続であるとし, 関数 $F(x)$ を $F'(x)=f(x)$ を満たす関数であるとする。 区間 $I$ における $F(x)$ の増加量を表す記号を % \begin{align*} \Big[\ F(x) \ \Big]_{a}^{b}=F(b)-F(a) \end{align*} % と定めるとき, % \begin{align*} \int_{a}^{b}f(x)\,dx = \Big[\ F(x) \ \Big]_{a}^{b} \end{align*} % が成り立つ。 これを\ommindex{微分積分学の基本定理}{びぶんせきぶんがくのきほんていり} という。 %

% $k$, $l$ が定数のとき, 定積分, 不定積分について % \begin{align*} \int_{a}^{b}\{k\,f(x)+l\,g(x)\}\,dx &= k\int_{a}^{b}f(x)\,dx + l\int_{a}^{b}g(x)\,dx \\ \int\{k\,f(x)+l\,g(x)\}\,dx &= k\int f(x)\,dx + l\int g(x)\,dx \end{align*} が成り立つ。 これを\ommindex{積分の線形性}{せきぶんのせんけいせい}という。 さらに, 定積分について, 次の性質が成り立つ。 % \begin{enumerate} \item 任意の定数 $a$ に対して, % \begin{align*} \int_{a}^{a}f(x)\,dx=0 \end{align*} % \item 定数 $a$, $b$, $c$ に対して, % \begin{align*} \int_{a}^{c}f(x)\,dx+\int_{c}^{b}f(x)\,dx = \int_{a}^{b}f(x)\,dx \end{align*} \item $a<b$, $f(x)\ge 0$ $(a\le x\le b)$ ならば % \begin{align*} \int_{a}^{b}f(x)\,dx \ge 0 \end{align*} \item $a<b$ ならば % \begin{align*} \left|\int_{a}^{b}f(x)\,dx \right| \le \displaystyle \int_{a}^{b}\left|f(x)\right|\,dx \end{align*} % \end{enumerate} % %

$\alpha$, $a$, $A$ を, $\alpha\ne -1$, $a>0$, $A\ne0$ を満たす定数とするとき, 次が成り立つ。 % \begin{align*} \int x^{\alpha}\,dx &=\frac{1}{\,\alpha+1\,}x^{\alpha+1}+C \\ \int \frac{1}{\,x\,}\,dx &=\log|x|+C \\ \int e^x\,dx &=e^x+C \\ \int \sin{x}\,dx &=-\cos{x}+C \\ \int \cos{x}\,dx &=\sin{x}+C \\ \int \frac{1}{\,\cos^2{x}\,}\,dx &=\tan{x}+C \\ \int \frac{1}{\,x^2-a^2\,}\,dx &=\frac{1}{\,2a\,}\log\left|\frac{x-a}{\,x+a\,}\right|+C \\ \int \frac{1}{\,x^2+a^2\,}\,dx &=\frac{1}{\,a\,}\tan^{-1}{\frac{x}{\,a\,}}+C \\ \int \frac{1}{\,\sqrt{a^2-x^2}\,}\,dx &=\sin^{-1}\frac{x}{\,a\,}+C \\ \int \frac{1}{\,\sqrt{x^2+A}\,}\,dx &=\log\left|x+\sqrt{x^2+A}\right|+C \\ \int \sqrt{x^2+A}\,dx &=\frac{1}{\,2\,}\left( x\sqrt{x^2+A}+A\log\left|x+\sqrt{x^2+A}\right|\right)+C \\ \int \sqrt{a^2-x^2}\,dx &=\frac{1}{\,2\,}\left( x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\sin^{-1}\frac{x}{\,a\,}\right)+C \end{align*} %

% \begin{enumerate} \item[1.] \ommindex{置換積分法}{ちかんせきぶんほう}(1) $t=\varphi(x)$ とおくとき, 次が成り立つ。 % \begin{align*} \int f(\varphi(x))\,\varphi'(x)\,dx = \int f(t)\,dt \end{align*} % $t=\varphi(x)$ とおくとき, $x$ が $a$ から $b$ まで変化するとき, $t$ が $\alpha$ から $\beta$ まで変化するならば, 次が成り立つ。 % \begin{align*} \int_{a}^{b} f(\varphi(x))\,\varphi'(x)\,dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(t)\,dt \end{align*} % \item[ ] \ommindex{置換積分法}{ちかんせきぶんほう}(2) $x=\varphi(t)$ とおくとき, 次が成り立つ。 % \begin{align*} \int f(\varphi(x))\,\varphi'(x)\,dx = \int f(t)\,dt \end{align*} % $x=\varphi(t)$ とおくとき, $x$ が $a$ から $b$ まで変化するとき, $t$ が $\alpha$ から $\beta$ まで変化するならば, 次が成り立つ。 % \begin{align*} \int_{a}^{b} f(x)\,dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(t)\varphi'(t)\,dt \end{align*} % \item[2.] \ommindex{部分積分法}{ぶぶんせきぶんほう} % \begin{align*} \int f'(x)g(x)\,dx &= f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)\,dx \\ \int_{a}^{b} f'(x)g(x)\,dx &= \Big[\ f(x)g(x) \ \Big]_{a}^{b}-\int_{a}^{b} f(x)g'(x)\,dx \end{align*} % \end{enumerate} %

$n$ を $n\ge 0$ を満たす整数とするとき % \begin{align*} \int_{0}^{\frac{\pi}{\,2\,}}\sin^n{x}\,dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{\,2\,}}\cos^n{x}\,dx \end{align*} % であり, これらの積分の値について次が成り立つ。 % \begin{align*} \int_{0}^{\frac{\pi}{\,2\,}}\sin^n{x}\,dx = \left\{\begin{array}{lcc} \displaystyle \frac{n-1}{\,n\,}\cdot \frac{n-3}{\,n-2\,}\cdots \frac{1}{\,2\,} \cdot \frac{\pi}{\,2\,} &　&(\mbox{$n$ が偶数}) \\[1em] \displaystyle \frac{n-1}{\,n\,}\cdot \frac{n-3}{\,n-2\,}\cdots \frac{2}{\,3\,} \cdot 1 &　&(\mbox{$n$ が奇数}) \end{array}\right. \end{align*} %