理解レベル
難易度: ★★
$1\,\rm{MPa}$の圧力で満たされた$4\,\rm{kg}$の空気が,容積$0.6\,\rm{m^3}$から$12\,\rm{m^3}$まで等温膨張したとして,次の問いに答えよ.
ただし,空気のガス定数を$R= 0.287 \,\rm{kJ/(kg \cdot K)}$とし,$0^\circ\rm{C}=273\,\rm{K}$として答えよ.
端数については有効数字$4$桁とせよ.
$(1)$
終わりの圧力$p_2$を求めよ.
$(2)$
温度$T$を求めよ.
$(3)$
外部にした絶対仕事$W_{12}$を答えよ.
$(4)$
加えられた熱量$Q_{12}$を答えよ.
$(1)$
\[
\begin{align}
p_2
&= \frac{p_1 V_1}{V_2} \\
&=\frac{1 \times 10^6 \times 0.6}{12} \\
&=50000 \ \rm{Pa}
\end{align}
\]
$(2)$
\[
\begin{align}
T
&= \frac{p_1 V_1}{mR} \\
&= \frac{1 \times 10^6 \times 0.6}{4 \times 0.287 \times 10^3} \\
&=522.648 \\
&=522.6 \ \rm{K}
\end{align}
\]
$(3)$
\[
\begin{align}
W_{12}
&= p_1 V_1\ln \frac{V_2}{V_1} \\
&=1 \times 10^6 \times 0.6 \ln \times \frac{12}{0.6}\\
&= 1.797 \ \rm{MJ}
\end{align}
\]
$(4)$
\[
Q_{12} = W_{12} = 1.797 \ \rm{MJ}
\]