{\bf 【方針】} \item 式 (2) を (1) に代入して, $x$についての定積分を計算する. \item 積分には部分分数分解を用いる. \bigskip {\bf 【解答】} 理想溶液の$x$と$y$の関係(2) を Rayleighの式(1) に代入すると, $$\ln \frac{L_f}{L_s}=\int_{x_s}^{x_f}\frac{dx}{\frac{\alpha x}{1+(\alpha-1)x}-x}\quad\cdots\quad(3)$$ となる. ここで, \begin{align*} \frac{\alpha x}{1+(\alpha-1)x}-x&=\frac{\alpha x-\left\{1+(\alpha-1)x\right\}x}{1+(\alpha-1)x}\\ &=\frac{(\alpha-1)x-(\alpha-1)x^2}{1+(\alpha-1)x} =\frac{(\alpha-1)x(1-x)}{1+(\alpha-1)x} \end{align*} であるから, (3)より, $$ \ln \frac{L_f}{L_s}%&=\int_{x_s}^{x_f}\frac{dx}{\frac{(\alpha-1)x(1-x)}{1+(\alpha-1)x}}\\ =\frac{1}{\alpha-1}\int_{x_s}^{x_f}\frac{1+(\alpha-1)x}{x(1-x)}\,dx\quad\cdots\quad(4)$$ となる. ここで, $$\frac{1+(\alpha-1)x}{x(1-x)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{1-x}$$ として分母を払うと, $$1+(\alpha-1)x=A(1-x)+Bx=(-A+B)x+A$$ となるので, これが$x$ についての恒等式になるためには $$\left\{\begin{array}{l} -A+B=\alpha-1\\ A=1 \end{array}\right.$$ これを解いて, $$A=1,\ B=\alpha$$ を得る. したがって, $$\frac{1+(\alpha-1)x}{x(1-x)}=\frac{1}{x}+\frac{\alpha}{1-x}$$ となるので, (4)より, \begin{align*} \ln \frac{L_f}{L_s}=\frac{1}{\alpha-1}\int_{x_s}^{x_f}\left(\frac{1}{x}+\frac{\alpha}{1-x}\right)\,dx =\frac{1}{α-1}\left(\ln \frac{x_f}{x_s} +\alpha\ln\frac{1-x_s}{1-x_f}\right) \end{align*} となる. したがって, 理想溶液の場合のRayleighの式は次のようになる. $$\ln \frac{L_f}{L_s}=\frac{1}{α-1}\left(\ln \frac{x_f}{x_s} +\alpha\ln\frac{1-x_s}{1-x_f}\right)$$ \bigskip 【注意】 \item 部分分数分解により, 分数式 $\displaystyle\frac{cx+d}{(x+a)(x+b)}$ ($a,b,c,d$ は定数) は $\displaystyle\frac{\alpha}{x+a}+\displaystyle\frac{\beta}{x+b}$ ($\alpha,\beta$ は定数) と変形できる. \bigskip \item $\log_e x=\ln x$ と書く. (自然対数) \bigskip \item $\displaystyle\int\displaystyle\frac1{x+a}=\ln |x+a|+C$ (不定積分)