{\bf 【方針】}
\item $T$と$x$ (もしくは$r$) を変数と考えて, その他の文字はみな定数とみる．
\item (1) は$q=-kA \displaystyle\frac{dT}{dx}$ を, (2)(3) は $q=-kA \displaystyle\frac{dT}{dr}$ を使う.
\item $q=-kA \displaystyle\frac{dT}{dx}$ は $\displaystyle\frac{q}{A}\,dx=-k\,dT$ と変形できるので, 与えられた条件を積分区間として定積分する．
$q=-kA \displaystyle\frac{dT}{dr}$ を使う場合も同様である.
\bigskip
{\bf 【解答】}
(1) $q=-kA \displaystyle\frac{dT}{dx}$ より, $\displaystyle\frac{q}{A}\,dx=-k\,dT$ となる.
伝熱面積$A$, $q$, $k$が一定で, $x:\, x_1\mapsto x_2$ のとき, $T:\,T_1\mapsto T_2$ であるので,
$$\int_{x_1}^{x_2}\frac{q}{A}\,dx=-\int_{T_1}^{T_2}k\,dT$$
$$\frac{q}{A}\Bigl[x\Bigr]_{x_1}^{x_2}\,dx=-k\Bigl[T\Bigr]_{T_1}^{T_2}$$
$$\frac{q}{A}(x_2-x_1)=-k(T_2-T_1)$$
%$$q=-kA\frac{T_2-T_1}{x_2-x_1}$$
したがって, $q=kA\displaystyle\frac{T_1-T_2}{x_2-x_1}$ となる.
(2) $q=-kA\displaystyle\frac{dT}{dr}$ より, $\displaystyle\frac{q}{A}\,dr=-k\,dT$ となる.
$A=2\pi rL$ を代入して, $\displaystyle\frac{q}{2\pi rL}\,dr=-k\,dT$
$q$, $L$, $k$ は一定で, $r:\, r_1\mapsto r_2$ のとき, $T:\,T_1\mapsto T_2$ であるので,
$$\int_{r_1}^{r_2}\frac{q}{2\pi r L}\,dr=-\int_{T_1}^{T_2}k\,dT$$
$$\frac{q}{2\pi L}\Bigl[\ln|r|\Bigr]_{r_1}^{r_2}\,dx=-k\Bigl[T\Bigr]_{T_1}^{T_2}$$
$$\frac{q}{2\pi L}(\ln r_2-\ln r_1)=-k(T_2-T_1)$$
$$q=k\frac{2\pi L}{\ln\displaystyle\frac{r_2}{r_1}}(T_1-T_2)$$
ここで, $\ln\displaystyle\frac{r_2}{r_1}=\ln\displaystyle\frac{2\pi r_2 L}{2\pi r_1 L}=\ln\displaystyle\frac{A_2}{A_1}$, $2\pi L=\displaystyle\frac{2\pi L(r_2-r_1)}{r_2-r_1}=\frac{A_2-A_1}{r_2-r_1}$ であるので,
$$q=k\displaystyle\frac{A_2-A_1}{\ln\displaystyle\frac{A_2}{A_1}}\frac{T_1-T_2}{r_2-r_1}=k A_{lm}\frac{T_1-T_2}{r_2-r_1}$$
(3) $q=-kA\displaystyle\frac{dT}{dr}$ より, $\displaystyle\frac{q}{A}\,dr=-k\,dT$ となる.
$A=4\pi r^2$ を代入して, $\displaystyle\frac{q}{4\pi r^2}\,dr=-k\,dT$
$q$, $k$ は一定で, $r:\, r_1\mapsto r_2$ のとき, $T:\,T_1\mapsto T_2$ であるので,
$$\int_{r_1}^{r_2}\frac{q}{4\pi r^2}\,dr=-\int_{T_1}^{T_2}k\,dT$$
$$\frac{q}{2\pi L}\Bigl[-\displaystyle\frac{1}{r}\Bigr]_{r_1}^{r_2}\,dx=-k\Bigl[T\Bigr]_{T_1}^{T_2}$$
$$\frac{q}{4\pi }\left(\displaystyle\frac1{r_1}-\displaystyle\frac1{r_2}\right)=k(T_1-T_2)$$
$$\frac{q}{4\pi }\displaystyle\frac{r_2-r_1}{r_1r_2}=-k(T_2-T_1)$$
$$q=k\cdot {4\pi }{\displaystyle\frac{r_1r_2}{r_2-r_1}}(T_1-T_2)$$
ここで, $4\pi r_1r_2=\sqrt{4\pi r_1^2\cdot 4\pi r_2^2}=\sqrt{A_1A_2}＝A_{gm}$ であるので,
$$q=k A_{gm}\frac{T_1-T_2}{r_2-r_1}$$
{\bf 【注意】}
\item $\displaystyle\int\,dx=x+C$, $\displaystyle\int\displaystyle\frac1{x}\,dx=\ln |x|+C$, $\displaystyle\int\displaystyle\frac1{x^2}\,dx=-\displaystyle\frac1x+C$ (不定積分)
\item $F'(x)=f(x)$ のとき, $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=\Bigl[F(x)\Bigr]_a^b=F(b)-F(a)$ (定積分)
\item $\log_e x=\ln x$ と書く. (自然対数)
\item $\ln M-\ln N=\ln\displaystyle\frac{M}{N}$ (対数の性質)
\item 幾何平均は数学では「相乗平均」と呼ばれている.
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