適用レベル
難易度: ★★★
図に示すように空気に接している水中に立てた内径$d$のガラス細管中を上昇する液柱高さ$h$を求めたい.
水の密度を$\rho$,重力加速度を$g$,水が空気に接触するときの表面張力を$\sigma$,水とガラス管内壁の接触角を$\theta$として,次の問いに答えよ.
%=image:/media/2015/01/15/142125765116295700.png:
$(1)$
管内の液面と管壁内面の交わりに沿って働く表面張力による力$F$を数式で示せ.
$(2)$
表面張力による力$F$の鉛直方向成分$F_y$を数式で示せ.
$(3)$
直径$d$,高さ$h$の水柱に働く重力$W$を数式で示せ.
$(4)$
鉛直方向の力のつり合い式を立てよ.
$(5)$
求める液柱高さ$h$を数式で示せ.
$(6)$
接触角$\theta = 8^\circ$,表面張力$\sigma = 0.0728\,\rm{N/m}$の条件下で,密度$\rho = 1000\,\rm{kg/m^3}$の水を毛細管現象を利用して高さ$h=5\,\rm{cm}$以上に吸い上げたい.
ガラス管の内径$d$をいくら以下に設計すればよいか答えよ.
ただし,有効数字$3$桁で答えよ.
$(1)$
(表面張力による力)=(界線の長さ)×(表面張力)だから,
\[
F=\pi d\sigma
\]
$(2)$
$F$の鉛直方向成分は$F\cos\theta$だから,
\[
F_y=\pi d\sigma \cdot \cos\theta
\]
$(3)$
重力$W=mg=V\rho g$だから,
\[
W=\frac{\pi}{4}d^2h \rho g
\]
$(4)$
鉛直方向の力のつり合い式より,
\[
F_y= W\\
\pi d \sigma\cdot \cos\theta = \frac{\pi}{4}d^2h\rho g\\
\therefore
\sigma \cdot \cos\theta = \frac{dh \rho g}{4}
\]
$(5)$
力のつり合い式を整理して,
\[
h=\frac{4\sigma \cdot \cos\theta}{d \rho g}
\]
$(6)$
\[
\frac{4 \times 0.0728 \times \cos8^\circ}{d \times 1000 \times 9.8}\ge 5 \times 10^{-2}\\
d \le \frac{4 \times 0.0728 \times \cos8^\circ}{1000 \times 9.8 \times 5 \times 10^{-2}}\\
d \le 0.005885\\
d \le 0.00589\\
\]
\[
\therefore
dは5.89\,\rm{mm}以下にしなければいけない
\]