{\bf 【方針】} \item $T$ [K]は温度, $C_{\textrm{pm}}$ [J$/($K$\cdot$mol$)$] は酸素1[mol] あたりの熱容量を表す. \bigskip \item $T$の関数 $C_{\textrm{pm}}$ を $T_1=300$ から $T_2=500$ まで定積分したものが, 酸素1[mol] あたりの熱量 $\Delta H_{\textrm{m}}$ となる. これを$n=70$[mol$/$s]倍したものが, 求める熱量となる. \bigskip {\bf 【解答】} 求める熱量は \begin{align*} Q&=n\Delta H_{\textrm{m}}=n\displaystyle\int_{T_1}^{T_2}(a+bT+cT^2)\,dT\\ &=n\Bigl[aT+\frac{b}2T^2+\frac{c}{3}T^3\Bigr]_{T_1}^{T_2}\\ &=n\left\{a(T_2-T_1)+\frac{b}2\left({T_2}^2-{T_1}^2\right)+\frac{c}{3}\left({T_2}^3-{T_1}^3\right)\right\}\\ &=70\times\left\{25.59×(500-300)+\frac{13.25×10^{-3}}2×(500^2-300^2) \right.\\ &\qquad\qquad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\left.-\frac{4.21×10^{-6}}3×(500^3 - 300^3)\right\}\\ &= 4.23×10^5 \textrm{[J$/$s]} = 4.23×10^2 \textrm{[kJ$/$s]} \end{align*} % \bigskip 【注意】 \item 積分公式 $\displaystyle\int x^p\,dx=\displaystyle\frac1{p+1}x^{p+1}+C$ ($p\ne-1$) を使っている. \bigskip \item $F'(x)=f(x)$ のとき, $\displaystyle\int_a^b{f(x)}\,dx=\Bigl[{F(x)}\Bigr]_{a}^{b}=F(b)-F(a)$ $\qquad$ (定積分)