{\bf 【方針】} \item この場合は，$E$が$d_p$ の関数になっていると考える． \item $d_p$ と $E$ について定積分する. $d_p=d_{p1}$ のとき $E=0$ として, $d_p=d_{p2}$ のときの $E$ を求める. {\bf 【解答】} (1) $(*)$ で $n=1$ とすると, $$\frac{dE}{d(d_p)}=-\frac{K}{d_p} $$ 変数を分離して, $$dE=-K\,\frac{d(d_p)}{d_p}$$ 与えられた区間で定積分すると, $$\int_0^E\,dE=-K\int_{d_{p1}}^{d_{p2}}\frac{d(d_p)}{d_p}$$ $$\Bigl[E\Bigr]_0^{E}=-K\Bigl[\ln |d_p|\Bigr]_{d_{p1}}^{d_{p2}}$$ $$E=-K(\ln d_{p2}-\ln d_{p1})=K\ln\frac{d_{p1}}{d_{p2}}$$ (2) $(*)$ で $n=2$ とすると, $$\frac{dE}{d(d_p)}=-\frac{K}{(d_p)^2} $$ 変数を分離して, $$dE=-K\,\frac{d(d_p)}{(d_p)^2}$$ 与えられた区間で定積分すると, $$\int_0^E\,dE=-K\int_{d_{p1}}^{d_{p2}}\frac{d(d_p)}{(d_p)^2}$$ $$\Bigl[E\Bigr]_0^{E}=-K\Bigl[-\frac1{d_p}\Bigr]_{d_{p1}}^{d_{p2}}$$ $$E=K\left(\frac1{d_{p2}}-\frac1{d_{p1}}\right)$$ (3) $(*)$ で $n=\displaystyle\frac32$ とすると, $$\frac{dE}{d(d_p)}=-\frac{K}{(d_p)^{\frac32}} $$ 変数を分離して, $$dE=-K\,\frac{d(d_p)}{(d_p)^{\frac32}}$$ 与えられた区間で定積分すると, $$\int_0^E\,dE=-K\int_{d_{p1}}^{d_{p2}} {(d_p)^{-\frac32}}\,{d(d_p)}$$ $$\Bigl[E\Bigr]_0^{E}=-K\Biggl[\frac1{-\displaystyle\frac32+1}{(d_p)^{-\frac32+1}}\Biggr]_{d_{p1}}^{d_{p2}}$$ $$E=2K\left\{(d_{p2})^{-\frac12}-(d_{p1})^{-\frac12}\right\}= 2K\left(\frac1{\sqrt{d_{p2}}}-\frac1{\sqrt{d_{p1}}}\right)$$ 【注意】 \item $\displaystyle\int\,dx=x+C$, $\displaystyle\int\displaystyle\frac1{x}\,dx=\ln |x|+C$, $p\ne-1$ のとき $\displaystyle\int{x^p}\,dx=\frac1{p+1}x^{p+1}+C$ 　 (不定積分) \item $F'(x)=f(x)$ のとき, $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=\Bigl[F(x)\Bigr]_a^b=F(b)-F(a)$ (定積分) \item $\log_e x=\ln x$ と書く. (自然対数) \item $\ln M-\ln N=\ln\displaystyle\frac{M}{N}$ (対数の性質)