例題集

熱伝導に関するフーリエの法則

知識・記憶レベル   難易度:
固体の$x$方向に温度勾配$\displaystyle\frac{dT}{dx}$ [K/m]がある場合, 熱伝導による伝熱速度$q$ [J/s]は、固体の熱伝導度$k$ [J/(m・s・K)]と伝熱面積$A$ [m${}^2$]を用いて次のFourier(フーリエ)の法則で表せる. $$q=-kA \frac{dT}{dx}$$ なお, 円筒座標や球座標で半径$r$方向に温度勾配$\displaystyle\frac{dT}{dr}$がある場合は次の式となる. $$q=-kA\frac{dT}{dr}$$ 固体壁を横切るように熱伝導が起こっている場合を考える. 定常状態で$q$は一定であり, 熱伝導度$k$は温度によらず一定と仮定する. %Fourierの式は, 次のようになる. %$$q\int_{x_1}^{x_2} \frac{dx}{A}=-k\int_{T_1}^{T_2}\, dT=k(T_1-T_2)$$ 次のそれぞれの場合について, ( )内の条件のもとでFourierの法則の式の左辺を定積分することにより, 伝熱速度$q$を与える式を導け. \begin{enumerate} \item[(1)] 伝熱面積が$A$ (一定)である平面壁($x = x_1$ のとき $T = T_1$, $x = x_2$ のとき $T = T_2$) \item[(2)] 伝熱面積が$A= 2\pi rL$ である円筒壁($r = r_1$ のとき $T = T_1$, $r = r_2$のとき $T = T_2$) \item[(3)] 伝熱面積が$A = 4\pi r^2$である球殻壁($r = r_1$ のとき $T = T_1$, $r = r_2$ のとき $T = T_2$) \end{enumerate} ここで, $r$は円筒および球殻の半径, $L$は円筒の長さを表す. また, 伝熱面積$A_1$, $A_2$の平均値は, 次式で定義される対数平均面積$A_{lm}$, 幾何平均面積$A_{gm}$を利用せよ: $$A_{lm}=\frac{A_2-A_1}{\ln \displaystyle\frac{A_2}{A_1}},\ \ A_{gm}=\sqrt{A_1 A_2}$$ %=image:/media/2014/11/18/141625318523651300.jpg:
{\bf 【方針】} \item $T$と$x$ (もしくは$r$) を変数と考えて, その他の文字はみな定数とみる. \item (1) は$q=-kA \displaystyle\frac{dT}{dx}$ を, (2)(3) は $q=-kA \displaystyle\frac{dT}{dr}$ を使う. \item $q=-kA \displaystyle\frac{dT}{dx}$ は $\displaystyle\frac{q}{A}\,dx=-k\,dT$ と変形できるので, 与えられた条件を積分区間として定積分する. $q=-kA \displaystyle\frac{dT}{dr}$ を使う場合も同様である. \bigskip {\bf 【解答】} (1) $q=-kA \displaystyle\frac{dT}{dx}$ より, $\displaystyle\frac{q}{A}\,dx=-k\,dT$ となる. 伝熱面積$A$, $q$, $k$が一定で, $x:\, x_1\mapsto x_2$ のとき, $T:\,T_1\mapsto T_2$ であるので, $$\int_{x_1}^{x_2}\frac{q}{A}\,dx=-\int_{T_1}^{T_2}k\,dT$$ $$\frac{q}{A}\Bigl[x\Bigr]_{x_1}^{x_2}\,dx=-k\Bigl[T\Bigr]_{T_1}^{T_2}$$ $$\frac{q}{A}(x_2-x_1)=-k(T_2-T_1)$$ %$$q=-kA\frac{T_2-T_1}{x_2-x_1}$$ したがって, $q=kA\displaystyle\frac{T_1-T_2}{x_2-x_1}$ となる. (2) $q=-kA\displaystyle\frac{dT}{dr}$ より, $\displaystyle\frac{q}{A}\,dr=-k\,dT$ となる. $A=2\pi rL$ を代入して, $\displaystyle\frac{q}{2\pi rL}\,dr=-k\,dT$ $q$, $L$, $k$ は一定で, $r:\, r_1\mapsto r_2$ のとき, $T:\,T_1\mapsto T_2$ であるので, $$\int_{r_1}^{r_2}\frac{q}{2\pi r L}\,dr=-\int_{T_1}^{T_2}k\,dT$$ $$\frac{q}{2\pi L}\Bigl[\ln|r|\Bigr]_{r_1}^{r_2}\,dx=-k\Bigl[T\Bigr]_{T_1}^{T_2}$$ $$\frac{q}{2\pi L}(\ln r_2-\ln r_1)=-k(T_2-T_1)$$ $$q=k\frac{2\pi L}{\ln\displaystyle\frac{r_2}{r_1}}(T_1-T_2)$$ ここで, $\ln\displaystyle\frac{r_2}{r_1}=\ln\displaystyle\frac{2\pi r_2 L}{2\pi r_1 L}=\ln\displaystyle\frac{A_2}{A_1}$, $2\pi L=\displaystyle\frac{2\pi L(r_2-r_1)}{r_2-r_1}=\frac{A_2-A_1}{r_2-r_1}$ であるので, $$q=k\displaystyle\frac{A_2-A_1}{\ln\displaystyle\frac{A_2}{A_1}}\frac{T_1-T_2}{r_2-r_1}=k A_{lm}\frac{T_1-T_2}{r_2-r_1}$$ (3) $q=-kA\displaystyle\frac{dT}{dr}$ より, $\displaystyle\frac{q}{A}\,dr=-k\,dT$ となる. $A=4\pi r^2$ を代入して, $\displaystyle\frac{q}{4\pi r^2}\,dr=-k\,dT$ $q$, $k$ は一定で, $r:\, r_1\mapsto r_2$ のとき, $T:\,T_1\mapsto T_2$ であるので, $$\int_{r_1}^{r_2}\frac{q}{4\pi r^2}\,dr=-\int_{T_1}^{T_2}k\,dT$$ $$\frac{q}{2\pi L}\Bigl[-\displaystyle\frac{1}{r}\Bigr]_{r_1}^{r_2}\,dx=-k\Bigl[T\Bigr]_{T_1}^{T_2}$$ $$\frac{q}{4\pi }\left(\displaystyle\frac1{r_1}-\displaystyle\frac1{r_2}\right)=k(T_1-T_2)$$ $$\frac{q}{4\pi }\displaystyle\frac{r_2-r_1}{r_1r_2}=-k(T_2-T_1)$$ $$q=k\cdot {4\pi }{\displaystyle\frac{r_1r_2}{r_2-r_1}}(T_1-T_2)$$ ここで, $4\pi r_1r_2=\sqrt{4\pi r_1^2\cdot 4\pi r_2^2}=\sqrt{A_1A_2}=A_{gm}$ であるので, $$q=k A_{gm}\frac{T_1-T_2}{r_2-r_1}$$ {\bf 【注意】} \item $\displaystyle\int\,dx=x+C$, $\displaystyle\int\displaystyle\frac1{x}\,dx=\ln |x|+C$, $\displaystyle\int\displaystyle\frac1{x^2}\,dx=-\displaystyle\frac1x+C$ (不定積分) \item $F'(x)=f(x)$ のとき, $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=\Bigl[F(x)\Bigr]_a^b=F(b)-F(a)$ (定積分) \item $\log_e x=\ln x$ と書く. (自然対数) \item $\ln M-\ln N=\ln\displaystyle\frac{M}{N}$ (対数の性質) \item 幾何平均は数学では「相乗平均」と呼ばれている.