{\bf 【方針】}
\item (1)(2)(3)(4) から, $u$, $R_c$, $R_m$ を消去し,
$K = \displaystyle\frac{2(1 - mS)A^2\varDelta P}{\alpha\rho\mu S}$ [m${}^6/$s] (\textbf{Ruth(ルース)の定圧濾過係数}) とおいて, $V$ と $t$ の微分方程式を作る.
他の文字は定数と考える.
\item 初期条件 「$t=0$ のとき $V=0$」 のもとでの特殊解を求める.
{\bf 【解答】}
(1)より, $\displaystyle\frac{dV}{dt}=Au$
(2) を代入すると, $\displaystyle\frac{dV}{dt}=\frac{A\varDelta P}{(R_c+R_m)\mu }$
さらに, (3)(4)を代入すると,
$$\displaystyle\frac{dV}{dt}=\frac{A\varDelta P}{\displaystyle\frac{a\rho S}{(1-mS)A}(V+V_m)\mu}=\frac{(1-mS)A^2\varDelta P}{(V+V_m)\alpha\rho\mu S}$$
となるので,
$K=\displaystyle\frac{2(1 - mS)A^2\varDelta P}{\alpha\rho\mu S}$ とおくと,
$$\frac{dV}{dt}=\frac{K}{2(V+V_m)}$$
変数を分離して,
$$2(V+V_m)\, dV=K\,dt$$
初期条件「$t=0$ のとき $V=0$」での解は,
$$\int_0^V2(V+V_m)\,dV=K\int_0^t\,dt$$
$$\Bigl[(V+V_m)^2\Bigr]_0^{V}=K\Bigl[t\Bigr]_0^{t}$$
$$(V+V_m)^2-V_m^2=Kt$$
$V_m^2=Kt_m$ とおくと,
$$(V+V_m)^2=K(t+t_m)$$
を得る.
ここで, $t_m$ [s]は仮想濾液量$V_m$を得るために必要な仮想濾過時間である.
【注意】
\item 変数分離形の1階微分方程式 $\displaystyle\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$ は $\displaystyle\frac{dy}{g(y)}=f(x)\,dx$ と変形して両辺を積分する.
初期条件「$x=x_0$ のとき, $y=y_0$」が与えられたときは,
$$\displaystyle\int_{y_0}^{y}\displaystyle\frac{dy}{g(y)}=\int_{x_0}^{x}f(x)\,dx$$
として定積分すると, 特殊解が得られる.
\item $\displaystyle\int\,dx=x+C$, $\displaystyle\int(x+a)\,dx=\frac1{2}(x+a)^{2}+C$ (不定積分)
\item $F'(x)=f(x)$ のとき, $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=\Bigl[F(x)\Bigr]_a^b=F(b)-F(a)$ (定積分)