知識・記憶レベル
難易度: ★
長さ $l$ [km] の同心ケーブルの一端に無誘導抵抗 $R_{B}$ [$\Omega$] を接続し,
送電端からこれを測定したときのインピーダンスを求めよ。
ただし,ケーブルの心線往復 $1$ km の抵抗を$R$ [$\Omega$],容量サセプタ
ンスを $B$[$\Omega^{-1}$] とし,その他の定数は無視するものとする。
また,送電端電圧 $V_{S}$,電流 $I_{S}$ が与えられたとき,送電端から測定
した距離 $x$ におけ
る電圧と電流は下記のように表せるとする。
\begin{eqnarray*}
&&V = V_{S}\cosh \gamma x - Z_{0}I_{S}\sinh \gamma x\\
&&I = I_{S}\cosh \gamma x - \frac{V_{S}}{Z_{0}}\sinh \gamma
x
\end{eqnarray*}
ただし,$Z_{0}$,$\gamma$ は次式で与えられる。
\begin{eqnarray*}
Z_{0} = \sqrt{\frac{R}{jB}},~
\gamma = \sqrt{jRB}
\end{eqnarray*}
$x=l$ では,電圧 $V_{R}$,電流 $I_{R}$ とおくと
\begin{eqnarray}
V_{R} = R_{B}I_{R}~~~~(1)
\end{eqnarray}
となる。また,
\begin{eqnarray}
&&V_{R} = V_{S}\cosh \gamma l - Z_{0}I_{S}\sinh \gamma l~~~~(2)\\
&&I_{R} = I_{S}\cosh \gamma l - \frac{V_{S}}{Z_{0}}\sinh \gamma
~~~~(3)
\end{eqnarray}
(1),(2)式より
\begin{eqnarray}
R_{B}I_{R} = V_{S}\cosh \gamma l - Z_{0}I_{S}\sinh \gamma l
\end{eqnarray}
(3)式を代入する。
\begin{eqnarray}
&& R_{B}\left(I_{S}\cosh \gamma l - \frac{V_{S}}{Z_{0}}\sinh \gamma l\right)\nonumber\\
&&\hspace{10ex} = V_{S}\cosh \gamma l - Z_{0}I_{S}\sinh \gamma l\\
&&I_{S}\left(R_{B}\cosh \gamma l+Z_{0}\sinh \gamma l\right) \nonumber\\
&&\hspace{10ex}=
V_{S}\left(\cosh \gamma l+\frac{R_{B}}{Z_{0}}\sinh \gamma l\right)
\end{eqnarray}
よって,他端から測定したときのインピーダンスは
\begin{eqnarray}
\frac{V_{S}}{I_{S}} &=& \frac{
R_{B}\cosh \gamma l+Z_{0}\sinh \gamma l
}{
\cosh \gamma l+\frac{R_{B}}{Z_{0}}\sinh \gamma l
}\nonumber\\
&=& \frac{
R_{B}+Z_{0}\tanh \gamma l
}{
1+\frac{R_{B}}{Z_{0}}\tanh \gamma l
}\nonumber\\
\end{eqnarray}