例題集

送電端からのインピーダンス

知識・記憶レベル   難易度:
長さ $l$ [km] の同心ケーブルの一端に無誘導抵抗 $R_{B}$ [$\Omega$] を接続し, 送電端からこれを測定したときのインピーダンスを求めよ。 ただし,ケーブルの心線往復 $1$ km の抵抗を$R$ [$\Omega$],容量サセプタ ンスを $B$[$\Omega^{-1}$] とし,その他の定数は無視するものとする。 また,送電端電圧 $V_{S}$,電流 $I_{S}$ が与えられたとき,送電端から測定 した距離 $x$ におけ る電圧と電流は下記のように表せるとする。 \begin{eqnarray*} &&V = V_{S}\cosh \gamma x - Z_{0}I_{S}\sinh \gamma x\\ &&I = I_{S}\cosh \gamma x - \frac{V_{S}}{Z_{0}}\sinh \gamma x \end{eqnarray*} ただし,$Z_{0}$,$\gamma$ は次式で与えられる。 \begin{eqnarray*} Z_{0} = \sqrt{\frac{R}{jB}},~ \gamma = \sqrt{jRB} \end{eqnarray*}
$x=l$ では,電圧 $V_{R}$,電流 $I_{R}$ とおくと \begin{eqnarray} V_{R} = R_{B}I_{R}~~~~(1) \end{eqnarray} となる。また, \begin{eqnarray} &&V_{R} = V_{S}\cosh \gamma l - Z_{0}I_{S}\sinh \gamma l~~~~(2)\\ &&I_{R} = I_{S}\cosh \gamma l - \frac{V_{S}}{Z_{0}}\sinh \gamma ~~~~(3) \end{eqnarray} (1),(2)式より \begin{eqnarray} R_{B}I_{R} = V_{S}\cosh \gamma l - Z_{0}I_{S}\sinh \gamma l \end{eqnarray} (3)式を代入する。 \begin{eqnarray} && R_{B}\left(I_{S}\cosh \gamma l - \frac{V_{S}}{Z_{0}}\sinh \gamma l\right)\nonumber\\ &&\hspace{10ex} = V_{S}\cosh \gamma l - Z_{0}I_{S}\sinh \gamma l\\ &&I_{S}\left(R_{B}\cosh \gamma l+Z_{0}\sinh \gamma l\right) \nonumber\\ &&\hspace{10ex}= V_{S}\left(\cosh \gamma l+\frac{R_{B}}{Z_{0}}\sinh \gamma l\right) \end{eqnarray} よって,他端から測定したときのインピーダンスは \begin{eqnarray} \frac{V_{S}}{I_{S}} &=& \frac{ R_{B}\cosh \gamma l+Z_{0}\sinh \gamma l }{ \cosh \gamma l+\frac{R_{B}}{Z_{0}}\sinh \gamma l }\nonumber\\ &=& \frac{ R_{B}+Z_{0}\tanh \gamma l }{ 1+\frac{R_{B}}{Z_{0}}\tanh \gamma l }\nonumber\\ \end{eqnarray}