ラグランジュの方程式を用いて図の2自由度系の運動方程式を求めよ． 平衡状態にある振子の長さ$l$ ，振動による振子の伸び$\xi$，鉛直線との間の振れ角を$\theta$とする． \[ ラグランジュの方程式: \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q_r}}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_r}+\frac{\partial U}{\partial q_r} =0 \] \[ q_r : 一般座標 \left( r= 1,2, \ldots ,n\right) \] \[ 運動エネルギー: T= \frac{1}{2} m \left\{ \left( l+\xi \right)^2 \dot{\theta}^2 + \dot{\xi}^2 \right\} \] \[ ポテンシャルエネルギ:U= \frac{1}{2} k \xi^2+ mg \left(l + \xi \right) \left(1 - \cos \theta \right) \] %=image:/media/2015/01/15/142125587811167300.png:

二自由度ばね質量系に調和外力が作用する場合について，以下の問いに答えよ． %=image:/media/2015/02/02/142288877353821600.png: %=image:/media/2015/02/02/142288666522684600.png: \[ 振幅： \left\{\begin{array}{cccc} X_1=\frac{\delta_{st}\omega_{n1}^2(\omega_{n2}^2-\omega^2)}{(\omega^2-\omega_1^2)(\omega^2-\omega_2^2)}\\ X_2=\frac{\delta_{st}\omega_{n1}^2\omega_{n2}^2}{(\omega^2-\omega_1^2)(\omega^2-\omega_2^2)} \end{array}\right.\] \[\omega_{n1}=\sqrt{\frac{k_1}{m_1}}\hspace{7.5mm} \omega_{n2}=\sqrt{\frac{k_2}{m_2}}\hspace{7.5mm} \delta_{st}=\frac{F}{k_1}\] $(a)$ 外力の振動数$\omega$が，系の固有振動数$\omega_1$，$\omega_2$にそれぞれ近づくとき，振幅はどうなるか． $(b)$ $(a)$の状態を何というか． $(c)$ $\omega=\omega_{n2}$のとき，どのような現象が起こるか． $(d)$ $(c)$の現象を利用したものを何というか．日本語と英語で答えよ．

図のような二自由度系について，$( \ a \ )$運動方程式をたて，$( \ b \ )$振動数方程式を示し，$( \ c \ )$固有振動数 を求めよ． ただし，$k=50\,\rm{kN/m}$，$m_1=2\,\rm{kg}$，$m_2=1\,\rm{kg}$ とする %=image:/media/2015/02/02/142288888943354200.png: